"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Целое уравнение — уравнение, в котором переменная не стоит в знаменателе, а обе части составлены из целых выражений. Чтобы решить такое уравнение, обычно раскрывают скобки, переносят слагаемые в одну часть и получают многочлен, равный нулю. Затем выбирают способ решения: раскладывают многочлен на множители или используют знакомые методы для уравнений нужной степени. В конце проверяют корни подстановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое уравнение — уравнение, в котором обе части являются целыми выражениями относительно переменной. Иными словами, переменная не стоит в знаменателе: в уравнении могут быть её степени, суммы и произведения. Это определение помогает отличить такие уравнения от дробных и выбрать подходящие преобразования.
Степень целого уравнения — наибольшая степень переменной после того, как уравнение приведено к виду многочлена, равного нулю. Например, уравнение 2x³ − x = 0 имеет третью степень. Степень подсказывает, с каким видом уравнения предстоит работать и какие способы решения могут пригодиться.
Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Например, для уравнения x − 3 = 0 корнем служит число 3. Понятие корня нужно, чтобы понимать, какие значения требуется найти и проверить.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, x + 2 = 0 и x = −2 равносильны, потому что оба имеют единственный корень −2. Это понятие позволяет переходить к более удобной записи, не меняя решения.
Чтобы получить вид P(x) = 0, сначала раскрывают скобки, затем переносят слагаемые в одну часть и приводят подобные. Так все выражения с переменной оказываются рядом, и уравнение можно рассматривать как многочлен, который должен обратиться в ноль. Например, из 2x + 3 = x − 1 получается 2x + 3 − x + 1 = 0, то есть x + 4 = 0.
Эти преобразования сохраняют корни, потому что основаны на свойствах равенств. Прибавление одного и того же выражения к обеим частям или раскрытие скобок заменяет запись равенства, но не меняет значения, при которых оно верно. Приведение подобных тоже сохраняет значение выражения: например, 2x + 3x и 5x равны при любом x.
После приведения уравнения к многочлену выбирают способ решения по его виду. Если многочлен можно разложить на множители, это часто сводит задачу к нескольким простым уравнениям. Если получено квадратное уравнение, можно применить разложение, выделить полный квадрат или воспользоваться формулой корней; для уравнений других степеней нужны подходящие известные методы.
Разложение особенно удобно благодаря свойству произведения: произведение чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Если, например, (x − 1)(x + 3) = 0, то возможны два случая: x − 1 = 0 или x + 3 = 0. Поэтому уравнение с произведением заменяют несколькими более простыми уравнениями, а затем собирают все полученные корни.
Найденные значения полезно подставить в исходное уравнение, а не только в преобразованную запись. При подстановке проверяют, совпадают ли левая и правая части, и тем самым обнаруживают возможную ошибку в вычислениях или знаках. В ответ записывают все проверенные корни, а если их нет — указывают, что решений нет.
| Ситуация | Приём | Что проверить |
|---|---|---|
| Уравнение содержит скобки и подобные слагаемые | Раскрыть скобки, привести подобные и получить P(x) = 0 | Не потерять слагаемые и правильно учесть знаки |
| Многочлен раскладывается на множители | Приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения | Учесть все множители и объединить найденные корни |
| После преобразований получено квадратное уравнение | Решить его известным способом: разложением, выделением полного квадрата или по формуле | Проверить вычисления и соответствие исходному уравнению |
Сначала найди в таблице ситуацию, которая соответствует полученному уравнению, и выбери указанный приём. Затем обязательно сверь решение с последним столбцом: он подсказывает, где чаще всего возникают ошибки. Если после упрощения уравнение изменило вид, ориентируйся на результат преобразований.
Решим уравнение 3(x − 2) + 5 = 2x + 1. Здесь есть скобки, поэтому сначала раскроем их и приведём выражение к линейному уравнению. Действуем последовательно, следя за знаками.
Ответ: x = 2.
Решим уравнение x² − 5x = 0. В обоих слагаемых есть общий множитель x, поэтому вынесем его за скобки. После этого применим свойство произведения, равного нулю.
Ответ: x = 0; x = 5.
Решим уравнение (x − 1)(x + 2) = x² − 4. После раскрытия скобок одинаковые квадратичные слагаемые окажутся по обе стороны и сократятся. Поэтому важно не продолжать считать уравнение квадратным: надо проверить, что осталось после приведения.
Ответ: x = −2.
При переносе слагаемых часто забывают изменить знак каждого перенесённого слагаемого. Это происходит, когда переносят выражение «через равно» мысленно, не записывая действия с обеими частями. Проверь себя: после переноса подставь найденное значение в исходное равенство и убедись, что обе части совпадают.
При раскрытии скобок можно умножить внешний множитель не на каждый член или ошибиться со скобками перед которыми стоит минус. Обычно причина — спешка и попытка раскрыть длинную запись одним действием. Расписывай умножение по членам отдельно, а для минуса используй, например, −(a + b) = −a − b.
Если произведение равно нулю, иногда приравнивают к нулю только один множитель и теряют остальные корни. Так происходит, когда свойство произведения вспоминают не полностью. Запиши отдельное уравнение для каждого множителя и проверь, что в списке корней учтены все случаи.
Найденный корень могут записать без проверки или потерять при преобразованиях. Ошибка возникает, если считать, что решение закончено сразу после получения значения переменной. Подставь каждый корень в исходное уравнение: неподходящее значение не включай в ответ, а при несовпадении частей перепроверь вычисления.
Для решения целых уравнений нужны действия с многочленами: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и разложение на множители. Также пригодятся свойства равенств, понятие корня и способы решения линейных и квадратных уравнений. Умение привести уравнение к многочленному виду помогает и в других задачах: например, при решении дробных уравнений нужно учитывать, какие значения переменной допустимы.
Как понять, является ли уравнение целым?
Посмотри, есть ли переменная в знаменателе. Если её там нет, а обе части состоят из многочленов и чисел, уравнение целое.
Зачем переносить все слагаемые в одну часть?
Так уравнение удобно записать в виде P(x) = 0, где P(x) — многочлен. Тогда можно искать корни многочлена, например разложив его на множители.
Почему произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю?
При умножении на ноль результат всегда равен нулю, каким бы ни был второй множитель. И наоборот: произведение чисел равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.
Что делать, если после преобразований получилось тождество или неверное равенство?
Тождество верно при любом допустимом значении переменной, поэтому корнями будут все такие значения. Если получилось неверное равенство, например 0 = 5, корней нет; проверь, не допущена ли ошибка в преобразованиях.
Обязательно ли проверять корни в исходном уравнении?
Проверка помогает обнаружить вычислительную ошибку и убедиться, что найденные значения подходят. Особенно полезно подставлять корни, если в уравнении было много преобразований.
Цельные уравнения
