Рациональные выражения

Определения и обозначения

Рациональное выражение составлено из чисел и переменных с помощью арифметических действий и целых неотрицательных степеней переменных. Например, 3x² − 5 и 1/(x + 2) — рациональные выражения: во втором случае переменная находится в знаменателе, но всё выражение остаётся отношением многочленов. Это понятие помогает описывать выражения, которые можно преобразовывать по правилам действий с дробями.

Рациональная дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Например, (x² − 1)/(x + 3) — рациональная дробь. Знаменатель должен быть отличен от нуля, иначе деление не имеет смысла; это условие нужно учитывать до любых преобразований.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Для дробного выражения проверяют знаменатели: значения, обращающие хотя бы один из них в ноль, исключают. ОДЗ нужна, чтобы понимать, при каких значениях можно вычислять исходное выражение.

Тождественно равные рациональные выражения принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Например, дробь (x² − 1)/(x − 1) и выражение x + 1 совпадают при x ≠ 1, но исходная дробь не определена при x = 1. Поэтому при сравнении учитывают ограничения на знаменатели, а не только итоговый вид записи.

Как это устроено

Чтобы найти ОДЗ, выпиши все знаменатели исходного выражения и выясни, при каких значениях каждый из них равен нулю. Эти значения запрещены, потому что деление на ноль не определено. Исключи их из множества возможных значений переменной; если знаменателей несколько, проверь каждый из них.

Сокращать рациональную дробь можно на общий множитель числителя и знаменателя. Сначала разложи многочлены на множители: например, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), а затем убери одинаковые множители сверху и снизу. Слагаемые сокращать нельзя, поскольку сумма не является общим множителем; кроме того, после сокращения сохраняй ограничения, полученные по исходному знаменателю.

Для сложения и вычитания дробей сначала находят общий знаменатель, чтобы части дробей стали одинаковыми. Каждую дробь домножают на недостающий множитель вместе с числителем, а затем складывают или вычитают только числители. Знаменатель общий, потому что складываются равные по размеру доли; ОДЗ исходных дробей при этом не меняется.

При умножении дробей перемножают числители между собой и знаменатели между собой, после чего при необходимости раскладывают множители и сокращают. Деление заменяют умножением на обратную дробь: числитель и знаменатель делителя меняют местами. Делитель не может быть нулём, поэтому при делении нужно исключить также те значения, при которых дробь-делитель равна нулю.

В сложном выражении сначала найди ОДЗ, чтобы не принять запрещённое значение за допустимое после упрощения. Затем разложи многочлены на множители и выполни действия в обычном порядке: сначала скобки, умножение и деление, затем сложение и вычитание. Такая последовательность помогает заметить общие множители и не потерять ограничения исходной записи.

Основные действия с рациональными дробями

Пользуйся таблицей как короткой проверкой перед вычислениями: выбери нужное действие и сверь правило. Затем отдельно проверь условия из последнего столбца. При нескольких действиях сначала найди ОДЗ всего выражения.

Разбор задач

Задача 1. Сократите дробь (x² − 9)/(x² + 3x). Сначала ищем разложения, чтобы увидеть, есть ли общий множитель числителя и знаменателя. Затем обязательно записываем ограничение по исходному знаменателю.

1. Разложим на множители: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), x² + 3x = x(x + 3).
2. Знаменатель исходной дроби равен нулю при x = 0 или x = −3, значит, эти значения исключаем.
3. Сократим общий множитель x + 3 и получим (x − 3)/x. Ограничение x ≠ −3 сохраняется, хотя в сокращённой записи его уже не видно.

Ответ: (x − 3)/x, x ≠ 0, x ≠ −3.

Задача 2. Выполните действие 2/(x − 1) + 3/(x + 1). Здесь знаменатели различаются, поэтому сначала делаем их одинаковыми. Отдельно фиксируем значения, при которых любая исходная дробь не определена.

1. Из знаменателей получаем ОДЗ: x ≠ 1 и x ≠ −1.
2. Общий знаменатель — (x − 1)(x + 1). Преобразуем числитель: 2(x + 1) + 3(x − 1) = 2x + 2 + 3x − 3 = 5x − 1.
3. Записываем результат как (5x − 1)/((x − 1)(x + 1)). В знаменателе также можно получить x² − 1, но множители нагляднее показывают ограничения.

Ответ: (5x − 1)/((x − 1)(x + 1)), x ≠ 1, x ≠ −1.

Задача 3. Упростите (x² − 4)/(x² − 4x + 4) : (x + 2)/(x − 2). До преобразований нужно найти ОДЗ и проверить, что дробь, на которую делят, не равна нулю. Иначе обратная дробь могла бы иметь нулевой знаменатель.

1. Разложим знаменатели: x² − 4x + 4 = (x − 2)². Поэтому первая дробь требует x ≠ 2, а вторая — x ≠ 2.
2. Делитель (x + 2)/(x − 2) не должен равняться нулю: при допустимом знаменателе это происходит, если x + 2 = 0. Добавляем условие x ≠ −2.
3. Заменим деление умножением на обратную дробь: (x² − 4)/(x − 2)² · (x − 2)/(x + 2). Разложим x² − 4 = (x − 2)(x + 2) и сократим общие множители.
4. Получим 1, сохраняя ограничения исходного выражения x ≠ 2 и x ≠ −2.

Ответ: 1, x ≠ 2, x ≠ −2.

Типичные ошибки

Сокращение отдельных слагаемых в числителе и знаменателе — ошибка: сокращать разрешено только общие множители. Её часто допускают, принимая части суммы за множители. Перед сокращением разложи числитель и знаменатель на множители и проверь, что убираешь один и тот же множитель целиком.

После сокращения иногда забывают ограничения исходного знаменателя. Так происходит, потому что в упрощённой записи запрещённое значение может перестать быть заметным. Проверка простая: выпиши ОДЗ до преобразований и оставь его в ответе.

При сложении дробей нельзя складывать знаменатели: общий знаменатель должен остаться общим, а складываются числители. Ошибка возникает из-за привычки выполнять одинаковое действие с каждой частью записи. Чтобы проверить себя, приведи дроби к общему знаменателю и раскрой скобки только в числителе.

При делении на дробь можно забыть перевернуть делитель или не проверить, что он не равен нулю. Обратная дробь получается перестановкой числителя и знаменателя, а деление на ноль невозможно. Запиши ОДЗ до замены деления умножением и проверь, что числитель дроби-делителя не обращается в ноль.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными выражениями нужно уметь раскладывать многочлены на множители, находить значения выражений и выполнять действия с обыкновенными дробями. Эти умения помогают находить ОДЗ и быстро приводить дроби к нужному виду. Позже рациональные выражения встретятся при решении рациональных уравнений и неравенств. Преобразования дробей также пригодятся при изучении функций и их графиков.

Что запомнить

• Знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю.
• ОДЗ находят по знаменателям исходного выражения.
• Сокращать можно только общие множители.
• При сложении и вычитании дроби приводят к общему знаменателю.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную.
• Ограничения исходного выражения сохраняются после упрощения.