"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Дробно-линейная функция — это функция, заданная отношением линейных выражений. Её график при определённых коэффициентах представляет собой гиперболу, которую можно построить по асимптотам и нескольким точкам. Удобная запись y = k/(x − a) + b помогает сразу увидеть, где график не определён, к каким прямым он приближается и как расположен на координатной плоскости. Это позволяет быстро исследовать функцию и строить её без большого числа вычислений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробно-линейной называют функцию вида y = (ax + b)/(cx + d), где a, b, c, d — числа, а знаменатель не равен нулю. Это отношение двух линейных выражений, поэтому прежде всего нужно выяснить, при каких x знаменатель обращается в ноль. Если c ≠ 0, такое значение равно x = −d/c и не входит в область определения. Функцию называют невырожденной, когда ad − bc ≠ 0: тогда её график является гиперболой, а не прямой или постоянной функцией.
Асимптота — прямая, к которой график неограниченно приближается. Для дробно-линейной функции обычно есть вертикальная асимптота x = a и горизонтальная y = b, если формула записана как y = k/(x − a) + b. Эти прямые помогают определить расположение ветвей и построить график, не вычисляя много значений функции. Их пересечение, точка (a; b), является центром симметрии гиперболы.
Чтобы понять форму графика, исходную дробь удобно преобразовать. При c ≠ 0 числитель можно представить так: ax + b = (a/c)(cx + d) + (bc − ad)/c. После деления на cx + d получается сумма постоянного числа и дроби, в знаменателе которой стоит выражение cx + d. Если ad − bc ≠ 0, дробная часть не исчезает, и её можно переписать в виде k/(x − a), получив y = k/(x − a) + b.
Формула y = 1/x задаёт основную гиперболу, а новая запись показывает, как из неё получить нужный график. Замена x на x − a сдвигает график вправо на a, если a положительно, а прибавление b сдвигает его вверх на b. Множитель k растягивает график по вертикали, а при k < 0 ещё и отражает его относительно горизонтальной оси. Поэтому вместо построения незнакомой кривой можно преобразовать известную гиперболу.
При x = a знаменатель дробной части равен нулю, поэтому функция в этой точке не существует. Когда x приближается к a, значение дроби по модулю становится очень большим, и ветви уходят вдоль прямой x = a. При больших по модулю значениях x дробь k/(x − a) становится всё ближе к нулю, поэтому y приближается к b. Так возникают вертикальная и горизонтальная асимптоты, а не просто появляются из внешнего вида формулы.
Знак k определяет, по разные ли стороны от асимптот расположены ветви. Если k > 0, выражения x − a и y − b имеют одинаковые знаки: ветви лежат справа выше центра и слева ниже него. Если k < 0, знаки противоположны, и ветви располагаются справа ниже центра и слева выше него. Это полезная проверка эскиза: если положение ветвей не соответствует знаку k, при построении допущена ошибка.
Для общей записи y = (ax + b)/(cx + d) вертикальную асимптоту находят, приравнивая знаменатель к нулю: cx + d = 0. Горизонтальная асимптота при c ≠ 0 равна y = a/c, поскольку при больших значениях x главные части числителя и знаменателя — ax и cx. Если ad − bc = 0, числитель и знаменатель пропорциональны, и дробь сокращается до постоянного значения, но точка с нулевым знаменателем остаётся исключённой. Поэтому условие ad − bc ≠ 0 важно проверить до того, как называть график гиперболой.
| Запись функции | Вертикальная асимптота | Горизонтальная асимптота | Расположение ветвей |
|---|---|---|---|
| y = k/(x − a) + b, k > 0 | x = a | y = b | Справа выше центра, слева ниже |
| y = k/(x − a) + b, k < 0 | x = a | y = b | Справа ниже центра, слева выше |
| y = (ax + b)/(cx + d), c ≠ 0 | x = −d/c | y = a/c | Определяется после преобразования |
| ad − bc = 0, c ≠ 0 | x = −d/c исключено | Постоянное значение функции | Прямая с выколотой точкой |
Сначала сравните исходную формулу с подходящей строкой и найдите асимптоты. Чтобы определить ветви, преобразуйте функцию к виду y = k/(x − a) + b и проверьте знак k. Если ad − bc = 0, не стройте гиперболу: сначала проверьте, не сократилась ли дробь до постоянной функции.
Построим график функции y = (2x + 1)/(x − 3). Нужно определить допустимые значения x, найти асимптоты и выбрать точки для каждой ветви. Сразу подставлять несколько чисел можно, но преобразование формулы покажет, как именно устроен график. Поэтому начнём с выделения постоянной части дроби.
Найдём область определения. Знаменатель x − 3 равен нулю при x = 3, значит, это значение исключается: x ≠ 3. Остальные значения x допустимы, так как других ограничений в формуле нет.
Преобразуем числитель: 2x + 1 = 2(x − 3) + 7. Делим обе части равенства на x − 3 и получаем y = 2 + 7/(x − 3). Такая запись сразу показывает сдвиг на 3 вправо и на 2 вверх, а множитель k равен 7.
Запишем асимптоты: x = 3 и y = 2. Их пересечение (3; 2) — центр гиперболы. Поскольку k = 7 > 0, одна ветвь лежит справа и выше центра, а другая — слева и ниже.
Возьмём по две точки с каждой стороны от вертикальной асимптоты. При x = 4 получаем y = 9, при x = 10 — y = 3; при x = 2 получаем y = −5, при x = −4 — y = 1. Каждое выбранное значение x допустимо, поскольку ни одно из них не равно 3.
Проведём пунктиром асимптоты и отметим найденные точки. Через точки на каждой стороне проведём плавные ветви, которые приближаются к обеим асимптотам, но не пересекают их. Точки (4; 9) и (2; −5) особенно наглядны: они находятся по разные стороны от центра, как и должно быть при положительном k.
Ответ: график — гипербола с асимптотами x = 3 и y = 2, центром (3; 2) и ветвями справа сверху и слева снизу от центра. Область определения: все действительные числа, кроме x = 3. Четырёх точек достаточно для эскиза, но при необходимости его можно уточнить дополнительными вычислениями.
Оставляют в области определения значение, при котором знаменатель равен нулю. Так происходит, если ученик замечает ограничение, но не записывает его после вычислений. Проверьте себя: подставьте найденное запрещённое значение в исходный знаменатель — он должен обратиться в ноль.
Путают вертикальную и горизонтальную асимптоты или берут из формулы y = k/(x − a) + b прямую x = b. Это может случиться из-за того, что обе асимптоты записаны через параметры одной формулы. Запомните проверку: вертикальная асимптота имеет вид x = число, горизонтальная — y = число; их пересечение должно быть (a; b).
Считают, что ветви всегда расположены так же, как у графика y = 1/x. При отрицательном k график отражается, поэтому ветви переходят в другие четверти относительно центра. Подставьте по одному значению x слева и справа от a и проверьте, выше или ниже b получаются значения y.
Сокращают общие множители и забывают исключить точку, где исходный знаменатель был равен нулю. Упрощённая формула может быть определена там, где исходная функция не имела значения. Проверьте область определения по первоначальной дроби и обозначьте исключённую точку как выколотую.
Дробно-линейная функция использует правила работы с дробями и линейными выражениями: без умения преобразовывать числитель нельзя удобно выделить постоянную часть. Её график связан с обратной пропорциональностью y = 1/x, потому что гипербола получается из этой кривой сдвигом, растяжением или отражением. Для построения также нужны координатная плоскость, область определения и таблица значений. Асимптоты помогают связать свойства формулы с поведением графика.
При c ≠ 0 дробно-линейную функцию можно преобразовать к виду y = k/(x − a) + b.
Значение, обращающее знаменатель в ноль, исключают из области определения.
Асимптоты функции в удобной записи: x = a и y = b; их пересечение — центр гиперболы.
Знак k определяет, по каким сторонам от центра расположены ветви.
Перед построением проверьте условие ad − bc ≠ 0: если оно не выполняется, график может оказаться прямой с выколотой точкой.
Как выглядит график дробно-линейной функции?
Если функцию можно записать как y = k/(x − a) + b, где k ≠ 0, её график — гипербола. Её асимптоты имеют уравнения x = a и y = b, а центр симметрии — точка (a; b).
Как найти асимптоты дробно-линейной функции?
Сначала преобразуйте формулу к виду y = k/(x − a) + b. Тогда вертикальная асимптота — прямая x = a, а горизонтальная — прямая y = b.
Почему нельзя подставлять значение x, при котором знаменатель равен нулю?
Деление на ноль не определено, поэтому при таком значении функция не имеет значения. Это число исключают из области определения; оно также задаёт вертикальную асимптоту графика.
График дробно-линейной функции (Узнайте больше)
