"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Модуль меняет отрицательное значение выражения на противоположное, поэтому графики с модулем могут отражать части исходного графика или образовывать несколько ветвей. Чтобы построить такой график, нужно выяснить, где выражения под модулями положительны и отрицательны, а затем раскрыть модуль в каждой области. Эти приёмы помогают изображать уравнения, находить их решения и понимать, почему график не всегда является графиком функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому |a| ≥ 0. Если a ≥ 0, число уже находится справа от нуля или в нуле, значит, |a| = a; если a < 0, расстояние равно противоположному числу: |a| = −a. Это правило нужно, чтобы понимать, как раскрывать модуль в формулах.
График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению. Например, точка (x; y) принадлежит графику, если после подстановки её координат получается верное равенство. Такой график помогает увидеть сразу все решения уравнения, а не искать их по одному.
График функции y = |f(x)| получается из графика y = f(x): его части ниже оси Ox отражают вверх относительно этой оси. Части выше оси остаются на месте, поскольку там значения f(x) уже неотрицательны. Это правило удобно, когда формула сложная, а график исходной функции известен.
Уравнение |y| = f(x) задаёт точки, для которых y = f(x) или y = −f(x), если f(x) ≥ 0. Два знака возникают потому, что числа y и −y имеют одинаковый модуль. Такое представление позволяет строить график по двум ветвям и замечать их симметрию относительно оси Ox.
Модуль раскрывают по знаку выражения, которое стоит внутри него. Сначала находят, где оно положительно, отрицательно или равно нулю: знак может измениться только при переходе через ноль. Затем рассматривают случаи отдельно и заменяют модуль самим выражением при положительном знаке или противоположным выражением при отрицательном. На границе оба способа дают одно и то же значение.
При построении y = |f(x)| сравнивают значения f(x) с нулём. Если f(x) положительно, модуль сохраняет это значение, поэтому соответствующая часть графика y = f(x) не меняется. Если значение отрицательно, модуль меняет его на противоположное, и точка переходит на такое же расстояние над Ox. Нули функции остаются на оси, поскольку |0| = 0.
В уравнении |y| = f(x) правая часть должна быть неотрицательной, ведь модуль не может равняться отрицательному числу. Там, где f(x) ≥ 0, равенство модуля числу означает два варианта: y = f(x) или y = −f(x). Одна ветвь располагается над Ox, другая под ней, на одинаковом расстоянии от оси. Поэтому для построения достаточно изобразить обе ветви только на подходящих значениях x.
В уравнении |x| = g(y) удобно разделить точки на случаи x ≥ 0 и x < 0. В первом случае |x| = x, во втором |x| = −x, так что соответствующие части имеют противоположные значения x при одном и том же y. Именно поэтому части графика оказываются зеркальными относительно Oy. Такая симметрия позволяет строить одну половину, а затем отражать её.
Если модулей несколько, границы областей находят из равенств нулю всех выражений под модулями. Например, выражения с x и y меняют знак по разные стороны соответствующих прямых. Внутри каждой области знаки уже не меняются, поэтому каждый модуль можно раскрыть без знака модуля, выбрав нужный знак. Полученные части графика оставляют только в той области, для которой их выводили, а затем объединяют.
Таблица подсказывает, с какого преобразования начинать для каждого вида уравнения. Сначала определите знаки выражений и запишите подходящие случаи, затем постройте получившиеся части графиков. Проверяйте, что каждая часть оставлена только там, где выполняются условия её построения.
| Вид уравнения | Как преобразовать | Как построить график |
|---|---|---|
| y = |f(x)| | Рассмотреть знаки f(x) | Части y = f(x) ниже Ox отразить вверх |
| |y| = f(x) | Потребовать f(x) ≥ 0; взять y = f(x) и y = −f(x) | Построить две симметричные относительно Ox ветви |
| |x| = g(y) | Рассмотреть x ≥ 0 и x < 0 | Использовать симметрию относительно Oy |
| |f(x)| = g(x) | Разобрать случаи f(x) ≥ 0 и f(x) < 0 | Построить соответствующие части графиков f(x) = g(x) и f(x) = −g(x) |
Сначала нужно понять, где исходная парабола y = x² − 1 находится ниже оси Ox: именно эта часть изменится при взятии модуля. Найдём её нули и разделим числовую прямую на промежутки. Затем запишем формулу графика на каждом промежутке.
Ответ: график задаётся формулой y = 1 − x² при −1 ≤ x ≤ 1 и y = x² − 1 при x ≤ −1 или x ≥ 1. Средняя часть исходной параболы отражена вверх, а внешние части остались на месте.
Здесь модуль стоит у y, поэтому сначала нужно проверить, может ли правая часть быть значением модуля. После этого равенство раскладывается на два случая для y. Условие на x сохраняется для обеих ветвей.
Ответ: объединение лучей y = x − 1 и y = 1 − x при x ≥ 1. Ограничение важно: продолжать эти прямые влево нельзя, потому что там правая часть исходного уравнения отрицательна.
Знаки x и y меняются на координатных осях, поэтому они делят плоскость на четыре области. В каждой области заменим модули выражениями с соответствующими знаками. Полученные уравнения дадут стороны графика, но каждую сторону нужно оставить в своей области.
Ответ: ромб с вершинами (2; 0), (0; 2), (−2; 0) и (0; −2). Проверка подстановкой любой вершины подтверждает равенство, а на каждой стороне сумма расстояний координат до нуля равна 2.
При построении y = |f(x)| иногда отражают часть графика вниз или оставляют её ниже оси. Ошибка возникает, если забыть, что модуль делает значение неотрицательным. Проверьте любую точку отражаемой части: после преобразования её координата y должна стать неотрицательной, а расстояние до Ox — сохраниться.
Для |y| = f(x) могут построить обе ветви и там, где f(x) < 0. Так происходит, если сразу раскрыть модуль, не проверив знак правой части. Подставьте точку с отрицательным f(x): равенство невозможно, потому что |y| ≥ 0. Значит, эти значения x нужно исключить.
При нескольких модулях порой раскрывают их по знаку, который на самом деле не соответствует выбранной области. Знаки выражений под модулями могут быть разными, и их нельзя угадывать. Проверяйте выбранный знак на пробной точке внутри области, а после построения убедитесь, что каждая часть лежит именно в своей области.
Ещё одна ошибка — считать, что любое уравнение задаёт график функции y от x. Это неверно, если для одного значения x подходят несколько значений y, как в |y| = x − 1 при x > 1. Проведите мысленно вертикальную прямую: если она пересекает график более одного раза, это график уравнения, но не функции y от x.
Для работы с графиками модулей нужны координатная плоскость, определение модуля и умение строить графики основных функций. Также пригодится симметрия относительно осей: она объясняет, как получаются отражённые части и парные ветви. Границы областей определяют с помощью решения простых уравнений.
Эти приёмы помогают решать уравнения и неравенства графическим способом: решения можно читать по точкам пересечения графиков или по их расположению. Они также нужны при исследовании функций с модулем, когда требуется понять, где меняется формула и как выглядит график на разных промежутках.
Почему при построении y = |f(x)| отражают только часть графика?
Если f(x) ≥ 0, модуль не меняет значение: |f(x)| = f(x), поэтому часть графика над осью Ox остаётся на месте. Если f(x) < 0, значение становится противоположным, и часть графика отражается вверх.
Чем отличаются графики y = |f(x)| и |y| = f(x)?
В уравнении y = |f(x)| модуль применён к выражению с x, поэтому все значения y неотрицательны. В уравнении |y| = f(x) модуль стоит у y: при f(x) ≥ 0 обычно получаются две симметричные относительно Ox ветви.
Почему уравнение |y| = f(x) не имеет решений при f(x) < 0?
Модуль |y| всегда равен нулю или положительному числу, а отрицательным быть не может. Поэтому он не может равняться отрицательному значению f(x).
Как понять, на какие области разбивать плоскость при нескольких модулях?
Найдите уравнения, при которых каждое выражение под модулем равно нулю. Эти линии разделят плоскость на области с постоянными знаками выражений; затем в каждой области раскройте модули с учётом этих знаков.
Всегда ли график уравнения с модулем является графиком функции?
Нет. Например, |y| = x − 1 при x > 1 задаёт две точки с разными значениями y для одного x. Такой график не проходит проверку вертикальной прямой, хотя остаётся графиком уравнения с двумя переменными.
График уравнений, содержащих модули (Узнайте больше)
