"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Вероятность помогает оценить, насколько возможно случайное событие, а комбинаторика — быстро подсчитать варианты, не перечисляя их все по одному. Для расчёта вероятности сначала определяют все возможные исходы опыта и проверяют, равновозможны ли они. Затем считают исходы, при которых событие происходит, и сравнивают их общее число с числом всех исходов. Если выбор состоит из нескольких шагов, варианты часто считают по правилу умножения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, но все возможные результаты можно перечислить. Например, при броске кубика нельзя заранее знать выпавшее число, но можно записать числа от 1 до 6. Это понятие помогает точно задать, какие результаты мы будем учитывать.
Элементарный исход — один конкретный возможный результат случайного опыта. Для кубика это выпадение именно 1, именно 2 и так далее, а не просто выпадение чётного числа. Исходы задают так, чтобы каждый возможный результат можно было отнести к одному пункту списка.
Благоприятный исход — исход, при котором рассматриваемое событие происходит. Если событие состоит в выпадении числа больше 4, благоприятны исходы 5 и 6. Выделение таких исходов позволяет понять, что именно нужно посчитать для ответа.
Вероятность события — отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов. Обычно вероятность события A обозначают P(A), а формулу записывают так: P(A) = число благоприятных исходов / число всех исходов. Это отношение показывает долю исходов, приводящих к событию, и применяется только при равновозможности исходов.
Чтобы составить полный список исходов, сначала нужно точно описать опыт и определить, что считать отдельным результатом. Затем перечисляют все результаты по понятному порядку: например, от меньшего числа к большему или по каждому шагу выбора. Каждый исход учитывают ровно один раз, иначе список будет неполным или некоторые результаты получат лишний вес при подсчёте.
При равновозможных исходах каждый из них имеет одинаковый шанс произойти. Поэтому благоприятные исходы составляют такую же долю от всех исходов, какую вероятность событие имеет от единицы. Если исходы не равновозможны, простое отношение их количества не даёт верного ответа: например, разные результаты могут выпадать с разной частотой.
Правило умножения используют, когда действие состоит из последовательных шагов. Если на первом шаге есть несколько вариантов и каждый из них можно продолжить любым вариантом второго шага, то для каждого первого выбора образуется отдельная пара. Поэтому число всех сочетаний равно произведению количеств вариантов на шагах, а не их сумме.
Дерево вариантов удобно, когда последовательности трудно перечислить в строку. От начальной точки проводят ветви для вариантов первого шага, затем от каждой ветви — варианты следующего шага. Каждая конечная ветвь соответствует одной полной последовательности действий; подсчёт таких ветвей помогает не пропустить комбинацию и не посчитать её дважды.
Вероятность не может быть меньше 0, поскольку число благоприятных исходов неотрицательно, и не может быть больше 1, поскольку благоприятные исходы входят в число всех исходов. Противоположное событие происходит тогда, когда исходное не происходит. Все исходы относятся либо к событию, либо к противоположному ему, поэтому их вероятности в сумме составляют 1.
| Ситуация | Что подсчитываем | Как действовать |
|---|---|---|
| Несколько последовательных выборов | Число всех вариантов | Перемножить число вариантов на каждом шаге |
| Нужно найти вероятность события | Число благоприятных исходов и число всех равновозможных исходов | Разделить число благоприятных исходов на общее число исходов |
| Сложно перечислить варианты без пропусков | Все возможные последовательности действий | Построить дерево вариантов и посчитать конечные ветви |
Сначала определите, какая ситуация описана в задаче: подсчёт вариантов или поиск вероятности. Если выбор состоит из нескольких шагов, используйте умножение или дерево, чтобы найти все варианты. Для вероятности дополнительно проверьте равновозможность исходов и отдельно посчитайте благоприятные.
Правильный кубик не отдаёт предпочтения одной грани, поэтому все шесть результатов равновозможны. Событие «выпало число больше 4» выполняется только для двух значений. Сравним количество этих благоприятных исходов с общим количеством.
Ответ: вероятность выпадения числа больше 4 равна 1/3. Это означает, что среди шести равновозможных исходов два подходят условию.
Пара состоит из двух выборов: сначала можно выбрать напиток, затем десерт. Для каждого из трёх напитков подходят все четыре десерта, поэтому нужно учитывать сочетания обоих шагов. Поскольку выбор десерта не ограничен выбранным напитком, действует правило умножения.
Ответ: можно составить 12 разных пар. Например, напиток с первым десертом и тот же напиток со вторым десертом — разные пары.
Двузначное число чётно, когда его последняя цифра чётная. Сначала посчитаем все числа: для десятков доступны четыре цифры, а для единиц после выбора первой — три. Затем отдельно найдём числа с чётной последней цифрой, соблюдая запрет на повторение.
Ответ: вероятность составить чётное число равна 1/2. Проверка по списку дала бы те же количества, но правило умножения позволяет не записывать все 12 чисел.
Считать исходы равновозможными только потому, что их удалось перечислить, — неверно: список показывает набор результатов, но не их шансы. Так ошибаются, смешивая полноту перечня с условиями равновозможности. Проверьте, одинаков ли шанс каждого результата по описанию опыта; если это не следует из условия, классическую формулу применять нельзя.
При составлении списка или дерева можно забыть исход либо записать его дважды. Это случается, если варианты перечисляются без заданного порядка или ветви не проверяются по отдельности. Пересчитайте конечные результаты и убедитесь, что каждый допустимый исход встречается ровно один раз.
При последовательных выборах иногда складывают количества вариантов, хотя каждый выбор первого шага сочетается с несколькими вариантами следующего. Сложение не учитывает все получающиеся пары или последовательности. Проверьте, можно ли продолжить каждый вариант первого шага всеми вариантами следующего: если да, количества перемножают.
В знаменатель вероятности могут по ошибке поставить число благоприятных исходов или включить результат, не соответствующий условию опыта. Обычно это происходит, когда не разделяют два подсчёта: всех исходов и подходящих исходов. Подпишите оба числа до вычисления и проверьте, что благоприятные исходы входят в общий список, а знаменатель равен его полному количеству.
Для работы с вероятностью понадобятся действия с дробями и умение находить отношение одной величины к другой: именно так вычисляют долю благоприятных исходов. Правило умножения связывает тему с задачами на перебор вариантов, например с составлением пар и последовательностей. Вероятностные рассуждения применяются при анализе случайных событий, а также при чтении и оценке статистических данных.
Что считать одним исходом случайного опыта?
Исход — это один конкретный результат опыта. Например, при броске кубика исходом будет выпадение определённого числа от 1 до 6.
Когда можно применять формулу классической вероятности?
Её применяют, если можно перечислить все исходы и они равновозможны. Тогда вероятность равна числу благоприятных исходов, делённому на число всех исходов.
Почему при последовательном выборе варианты перемножают?
Каждый вариант первого шага можно сочетать с каждым допустимым вариантом следующего шага. Поэтому общее число сочетаний равно произведению числа вариантов на каждом шаге.
Как убедиться, что при подсчёте вариантов ничего не пропущено?
Можно построить дерево вариантов: на каждом шаге отдельная ветвь показывает возможный выбор. Проверьте, что учтены все разрешённые продолжения и каждая конечная ветвь соответствует ровно одному исходу.
Может ли вероятность события быть больше единицы?
Нет. Вероятность находится от 0 до 1 включительно: 0 означает невозможное событие, а 1 — достоверное.
5.5. Вероятность и комбинаторика {Для тех, кому интересно)
