Действие с рациональными числами

Определения и обозначения

Рациональное число — это число, которое можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. К рациональным относятся целые числа, например −4 и 0, обыкновенные дроби, например 3/7, и конечные десятичные дроби, например 1,25. Это понятие объединяет разные записи чисел и позволяет применять к ним общие правила вычислений.

Противоположные числа — это числа, сумма которых равна нулю. Например, 6 и −6 противоположны друг другу; у числа a противоположное число −a, потому что a + (−a) = 0. Противоположное число нужно, в частности, чтобы заменить вычитание сложением.

Обратные числа — это числа, произведение которых равно единице. Для любого ненулевого числа a обратным будет 1/a, ведь a · 1/a = 1; например, обратное к 4 — 1/4. Обратные числа помогают выполнять деление через умножение, но для нуля такое число найти нельзя.

Модуль рационального числа — расстояние от соответствующей ему точки на координатной прямой до нуля. Модуль числа a записывают |a|; например, |−5| = 5 и |3| = 3. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен.

Как это устроено

При сложении чисел с одинаковыми знаками их значения направлены в одну сторону от нуля, поэтому расстояния складываются. Сначала сложи модули, а затем сохрани общий знак: например, −4 + (−3) = −7. Если знаки разные, числа направлены в противоположные стороны и частично компенсируют друг друга. Тогда нужно вычесть меньший модуль из большего, а ответу дать знак слагаемого с большим модулем.

Вычитание числа заменяют сложением противоположного: a − b = a + (−b). Такая запись позволяет применять единое правило сложения и не придумывать отдельное правило для каждого сочетания знаков. Например, 5 − (−2) превращается в 5 + 2, потому что противоположное числу −2 — число 2. А −5 − 2 можно записать как −5 + (−2): оба слагаемых отрицательны.

При умножении сначала перемножают модули, а знак определяют отдельно. Два одинаковых знака дают плюс: например, отрицательное число, умноженное на отрицательное, даёт положительное произведение. При разных знаках результат отрицательный, потому что множители имеют разные знаки. Разделение вычисления на модуль и знак помогает не путать знак результата с величиной произведения.

Деление ненулевого числа на ненулевое заменяют умножением делимого на число, обратное делителю: a : b = a · 1/b при b ≠ 0. Например, деление на 1/2 означает умножение на 2. Знак частного определяется так же, как при умножении: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Делить на ноль нельзя: не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулевое делимое.

Сумма, разность и произведение рациональных чисел снова являются рациональными числами; частное тоже рационально, если делитель не равен нулю. Однако верный результат зависит не только от правил знаков, но и от порядка действий и скобок. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, после — сложение и вычитание слева направо. Скобки могут изменить порядок вычислений, поэтому выражение сначала полезно внимательно прочитать.

Правила действий с рациональными числами

В таблице сначала найди нужное действие, затем проверь, какие числа даны и как определить знак. Для сложения сравнивают модули, а для умножения и деления достаточно посмотреть на знаки множителей или чисел. Столбец «Особый случай» помогает заметить ситуации, в которых обычное вычисление упрощается или становится невозможным.

Разбор задач

Вычислим −7 + (−5). Оба слагаемых отрицательны, значит, их модули нужно сложить и оставить общий знак. Не следует складывать числа как обычные положительные: знак каждого слагаемого показывает направление на координатной прямой.

1. Найдём модули: |−7| = 7 и |−5| = 5.
2. Сложим их: 7 + 5 = 12.
3. Поставим минус, так как оба числа отрицательные.

Ответ: −12. Проверить результат можно по координатной прямой: от точки −7 сдвигаемся ещё на 5 единиц влево и попадаем в −12.

Вычислим 3/4 − (−5/6). Сначала заменим вычитание сложением противоположного числа: так мы сведём пример к правилу сложения рациональных чисел. Получатся положительные слагаемые, поэтому их модули складываются. Для сложения дробей понадобятся одинаковые знаменатели.

1. Заменим действие: 3/4 − (−5/6) = 3/4 + 5/6.
2. Общий знаменатель для 4 и 6 — 12: 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12.
3. Сложим числители: 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.

Ответ: 19/12, или 1 7/12. Получилось число больше 3/4: это ожидаемо, ведь мы прибавили положительное число 5/6.

Вычислим (−1,2 + 0,7) · (−3/5) : 1/2. Скобки выполняются первыми, затем умножение и деление — слева направо. Удобно следить отдельно за знаками: это позволяет заметить, почему итог выражения будет положительным. Деление на дробь заменим умножением на обратную ей дробь.

1. Вычислим в скобках: −1,2 + 0,7 = −0,5.
2. Перемножим модули и определим знак: (−0,5) · (−3/5) = 0,3, поскольку знаки одинаковые.
3. Заменим деление на 1/2 умножением на 2: 0,3 : 1/2 = 0,3 · 2 = 0,6.

Ответ: 0,6. Проверка знака проста: после первого умножения получился плюс, а деление на положительное число знак не меняет.

Типичные ошибки

При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули, хотя нужно найти их разность. Так ошибаются, когда обращают внимание на числа, но забывают сравнить их направления и величины. Например, для −8 + 3 надо вычислить 8 − 3 и поставить минус, потому что модуль числа −8 больше. Проверь ответ: его модуль должен равняться разности модулей слагаемых.

При вычитании отрицательного числа можно по привычке оставить знак вычитания. Причина в том, что два знака подряд кажутся лишними, хотя каждый из них выполняет свою роль. Перепиши действие по правилу a − b = a + (−b): например, 4 − (−6) = 4 + 6. Проверка состоит в том, чтобы определить противоположное число и только после этого складывать.

При умножении или делении некоторые считают, что минус всегда остаётся в ответе. Но результат зависит от обоих знаков: при двух отрицательных числах он положителен, а при одном отрицательном — отрицателен. Перед вычислением модулей отдельно запиши знак результата. Затем сверь его с правилом: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.

Нельзя делить на ноль или считать ноль обратным самому себе. Такая ошибка возникает, если правило об обратных числах применять без условия о ненулевом числе. Обратное к a равно 1/a только при a ≠ 0, а делитель в частном не может быть нулём. Проверяй делитель до вычислений: если он равен нулю, выражение не определено.

Связь с другими темами

Для вычислений полезно уметь сравнивать рациональные числа и находить модуль на координатной прямой: эти знания помогают выбрать знак суммы. Обыкновенные и десятичные дроби нужны, чтобы записывать числа в удобном виде, а приведение дробей к общему знаменателю — чтобы складывать и вычитать дроби. Полученные правила применяются при преобразовании числовых выражений и решении уравнений с рациональными коэффициентами. Поэтому аккуратная работа со знаками помогает и в дальнейших темах алгебры.

Что запомнить

• При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают их модули.
• При сложении чисел с разными знаками вычитают меньший модуль из большего.
• Вычитание заменяется сложением с противоположным числом.
• Одинаковые знаки множителей дают положительное произведение, разные — отрицательное.
• Деление на ненулевое число заменяется умножением на обратное.
• На ноль делить нельзя.