"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Рациональные числа можно умножать и делить так же, как положительные, если отдельно учитывать знак и модуль числа. Модуль результата находят по обычным правилам действий с натуральными числами и дробями, а знак — по знакам исходных чисел. Деление на ненулевое число заменяют умножением на обратное. Эти правила помогают вычислять выражения с отрицательными числами, дробями и десятичными дробями, а также проверять, разумен ли полученный ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение рациональных чисел — результат умножения двух рациональных чисел. Его модуль находят умножением модулей множителей, а знак определяют отдельно по их знакам. Такое разделение помогает не путать вычисление величины результата с выбором плюса или минуса.
Частное рациональных чисел — результат деления одного рационального числа на другое. Деление можно заменить умножением на обратное число, если делитель не равен нулю. Это удобно, особенно когда числа записаны дробями.
Обратное число к ненулевому рациональному числу — число, произведение которого с данным равно 1. Для числа a, где a ≠ 0, обратным является 1/a; например, для 2/3 обратное число — 3/2. С помощью обратного числа выполняют деление и проверяют его результат.
Правило знаков — правило, по которому определяют знак произведения или частного, глядя на знаки исходных чисел. Если знаки одинаковые, результат положительный, если разные — отрицательный. Это правило позволяет сначала выбрать знак ответа, а потом вычислить его модуль.
При умножении модулей мы пока не учитываем, в какую сторону от нуля расположены числа: сначала находим величину результата, как для положительных чисел. Знак нужен отдельно, потому что он показывает, по какую сторону от нуля находится результат. Поэтому для произведения a · b сначала вычисляют |a| · |b|, а затем ставят знак по знакам множителей.
Правило знаков можно понять через распределительное свойство: умножение числа на сумму равно сумме произведений. Отрицательное число −a — это число, противоположное a, поэтому (−a) · b противоположно a · b и имеет знак минус, если a и b положительны. А произведение двух отрицательных чисел положительно: из 0 = (−a) · (b + (−b)) следует, что (−a) · (−b) противоположно (−a) · b. Так как последнее отрицательно, произведение (−a) · (−b) положительно.
Деление связано с умножением: частное a : b — это число, которое при умножении на b даёт a. Если b ≠ 0, таким числом является a · 1/b, потому что (a · 1/b) · b = a. Поэтому деление заменяют умножением на обратное число, а знак частного определяют так же, как знак произведения: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
Делить на ноль нельзя, потому что не существует единственного числа, которое при умножении на ноль даст заданное делимое: при ненулевом делимом решения нет, а при нулевом подойдёт любое число. Зато ноль можно делить на ненулевое число: 0 : b = 0 при b ≠ 0, так как 0 · b = 0. Это объясняет, почему случай нулевого делимого отличается от деления на ноль.
Для дробей при умножении перемножают числители и знаменатели, а при делении умножают первую дробь на обратную второй. Например, при делении на 2/3 нужно умножить на 3/2, а не делить отдельно числители и знаменатели. Сокращение общих множителей до вычислений уменьшает числа и помогает избежать лишних действий. Знак при этом определяют независимо от работы с дробями.
| Случай | Знак результата | Что делать с модулями |
|---|---|---|
| Множители или делимое и делитель одного знака | Положительный | Перемножить модули или разделить модуль делимого на модуль делителя |
| Множители или делимое и делитель разных знаков | Отрицательный | Перемножить модули или разделить модуль делимого на модуль делителя |
| Один из множителей равен нулю | Нулевой | Произведение равно 0 |
| Делимое равно нулю, делитель не равен нулю | Нулевой | Частное равно 0 |
| Делитель равен нулю | Не определён | Выполнить деление нельзя |
Сначала определи, какое действие выполняется, и проверь, не равен ли делитель нулю. Затем по знакам выбери знак результата, а с модулями выполни нужное действие. Таблица помогает не смешивать эти два шага.
Задача. Вычислите произведение −7 · 4. Здесь один множитель отрицательный, а второй положительный, поэтому результат будет отрицательным. Чтобы найти его величину, достаточно перемножить модули множителей.
Ответ: −28. Разделение вычисления на знак и модуль помогает не потерять минус и не сделать лишних действий.
Задача. Вычислите (−3/5) · (10/9) и проверьте ответ. Знаки множителей разные, поэтому произведение будет отрицательным. Перед умножением удобно сократить 10 и 5 на 5, а 3 и 9 на 3: числа в записи станут меньше.
Ответ: −2/3. При проверке получен тот же модуль, а знак согласуется с правилом для множителей разных знаков.
Задача. Вычислите (−2,4) : (−0,6) − 3/4 : (−1/2). Сначала выполняем деления, потому что они имеют приоритет перед вычитанием. У первого частного знак положительный, у второго — отрицательный; вычислим их отдельно через умножение на обратное число.
Ответ: 11/2, или 5,5. Вычитание отрицательного числа превращается в сложение, поэтому итог больше 4.
Ошибка: считать, что произведение двух отрицательных чисел отрицательно. Так путают умножение со сложением, где знаки складываемых чисел рассматривают иначе. Для проверки вспомни: два минуса при умножении дают плюс, например (−2) · (−3) = 6; величина ответа при этом равна произведению модулей.
Ошибка: получать положительное частное при делении чисел разных знаков. Иногда правило знаков ошибочно переносят только на умножение, хотя при делении оно такое же. Проверь знаки делимого и делителя: разные знаки означают отрицательный ответ, одинаковые — положительный.
Ошибка: делить дроби, перемножая числители между собой и знаменатели между собой. Так выполняют умножение дробей, но не деление; причина ошибки — забывают перевернуть делитель. Для проверки замени деление умножением на обратную дробь, например 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4.
Ошибка: считать, что 0 : 0 = 0, или выполнять деление на ноль. Нулевое делимое разрешено только при ненулевом делителе, а деление на ноль не имеет определённого результата. Перед любым делением проверь делитель; если он равен нулю, вычисление продолжать нельзя.
Для этой темы нужны умножение и деление натуральных чисел и обыкновенных дробей, а также понятия модуля и противоположных чисел. Модуль помогает вычислить величину результата, противоположные числа — понять действие знака минус. Освоенные правила пригодятся при вычислении значений выражений и решении уравнений. Они также используются при работе с рациональными дробями, в которых числитель или знаменатель может быть рациональным числом.
Почему минус на минус даёт плюс?
Если умножить отрицательное число на отрицательное, результат должен согласовываться с распределительным свойством умножения. Например, из 0 = (−2) · (3 + (−3)) следует, что (−2) · 3 и (−2) · (−3) должны быть противоположными числами. Первое произведение равно −6, поэтому второе равно 6.
Как быстро определить знак частного?
Посмотри на знаки делимого и делителя, не вычисляя сами числа. Если знаки одинаковые, частное положительное; если разные — отрицательное. Затем раздели модули чисел.
Как разделить одну дробь на другую?
Умножь первую дробь на дробь, обратную второй: числитель и знаменатель делителя меняются местами. Делитель не должен быть равен нулю. Перед умножением удобно сократить общие множители и отдельно определить знак.
Можно ли делить ноль на ненулевое число?
Да. Ноль, делённый на любое ненулевое число, равен нулю: 0 : a = 0 при a ≠ 0. Это можно проверить умножением: 0 · a = 0.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление a : b означает поиск числа, которое при умножении на b даёт a. При b = 0 умножение на ноль всегда даёт только ноль, поэтому для ненулевого a такого числа нет. А для 0 : 0 подходит любое число, так что единственного ответа тоже нет.
Умножение и деление рациональных чисел
