Сложение и вычитание рациональных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем. К рациональным относятся целые числа, обыкновенные дроби, а также конечные и периодические десятичные дроби. Например, −3 = −3/1, а 0,25 = 1/4. Это определение позволяет применять одни и те же правила действий к разным видам чисел.

Противоположные числа — числа, сумма которых равна нулю. У них одинаковые модули, то есть одинаковые расстояния от нуля, но разные знаки: например, 6 и −6. Такие числа удобно узнавать и объединять в выражениях, потому что их сумма сразу равна нулю.

Сумма рациональных чисел — результат сложения двух рациональных чисел. Например, результат выражения −2 + 5 — это сумма чисел −2 и 5. Сумма рациональных чисел всегда рациональна, поэтому после сложения дробей, десятичных или целых чисел мы получаем число того же вида.

Разность рациональных чисел — результат вычитания одного рационального числа из другого. Разность можно представить как сумму: a − b = a + (−b). Эта запись помогает выполнять вычитание по знакомым правилам сложения, даже если вычитаемое отрицательное.

Как это устроено

Если у слагаемых одинаковые знаки, складывают их модули и сохраняют общий знак. На числовой прямой это похоже на движение в одном направлении: два шага вправо увеличивают координату, а два шага влево уменьшают её. Например, −3 + (−4) означает пройти сначала 3, а затем ещё 4 единицы влево от нуля. Поэтому результат равен −7.

При разных знаках слагаемые направлены в противоположные стороны, поэтому часть одного движения компенсирует другое. Из большего модуля вычитают меньший, а знак результата берут у числа с большим модулем: оно задаёт оставшееся направление. Например, в сумме −9 + 4 остаётся движение на 5 единиц влево. Если модули равны, движения полностью компенсируются и получается ноль.

Числовая прямая помогает понять оба правила: координаты растут вправо и уменьшаются влево. Прибавить положительное число — значит сдвинуться вправо на его модуль, а прибавить отрицательное — влево. Поэтому при сложении важны и направление, которое задаёт знак, и длина движения, которую задаёт модуль. Этот способ особенно полезен, когда нужно проверить знак результата.

Вычитание заменяют сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Вычитая число, мы перемещаемся в направлении, противоположном тому, которое соответствует этому числу. Если вычитаемое положительное, сдвигаемся влево; если оно отрицательное — вправо. Например, вычитание −3 превращается в прибавление 3: a − (−3) = a + 3.

В выражении с несколькими числами удобно сначала заменить каждое вычитание сложением противоположного, а затем сложить получившиеся числа. Скобки показывают, какое число целиком вычитают или прибавляют: в −(−2) знак числа внутри скобок меняется при замене вычитания. Например, 5 − (−2) = 5 + 2, а не 5 − 2. После раскрытия скобок сравнивают знаки и модули слагаемых.

Правила сложения и вычитания рациональных чисел

Сначала найди строку, которая соответствует действию, и проверь знаки чисел. Для сложения сравни модули, а для вычитания сперва замени действие сложением противоположного числа. Примеры в последнем столбце показывают, как применить правило.

Разбор задач

Вычислите: (−7) + (−5).

1. У обоих слагаемых знак минус, значит, числа имеют одинаковые знаки.
2. Находим модули: |−7| = 7 и |−5| = 5. Складываем их: 7 + 5 = 12.
3. Сохраняем общий знак слагаемых — минус. Получаем −12.

Ответ: −12. Два отрицательных слагаемых задают движение влево, поэтому результат тоже отрицательный.

Вычислите: 8 + (−13).

1. Знаки разные, поэтому модули нужно не складывать, а вычитать.
2. Сравниваем модули: 13 больше 8. Вычитаем меньший из большего: 13 − 8 = 5.
3. Знак результата берём у числа с большим модулем. Это число −13, значит, сумма равна −5.

Ответ: −5. На числовой прямой движение на 13 единиц влево сильнее движения на 8 единиц вправо, поэтому итоговое смещение — на 5 единиц влево.

Вычислите: −4,6 − (−2,8) + 1,3.

1. Сначала заменяем вычитание сложением противоположного числа: −4,6 − (−2,8) + 1,3 = −4,6 + 2,8 + 1,3. Два знака минус перед числом −2,8 дают прибавление положительного числа 2,8.
2. Складываем −4,6 и 2,8. Их знаки разные, а модули отличаются на 4,6 − 2,8 = 1,8. Больший модуль у отрицательного слагаемого, поэтому получаем −1,8.
3. Теперь вычисляем −1,8 + 1,3. Знаки разные, разность модулей равна 1,8 − 1,3 = 0,5, знак берём у −1,8. Получаем −0,5.

Ответ: −0,5. После замены вычитания выражение стало суммой, поэтому на каждом следующем шаге мы применяли правила сложения чисел с разными знаками.

Типичные ошибки

При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули, потому что по памяти переносят правило для одинаковых знаков. Но противоположные направления частично компенсируют друг друга, поэтому здесь модули вычитают. Проверь себя: если знаки разные, найди разность модулей, а не их сумму.

Другая ошибка — поставить знак числа с меньшим модулем. Его вклад слабее и не определяет итоговое направление, поэтому знак берут у числа с большим модулем. Для проверки сравни модули отдельно от знаков и только потом выбери знак результата.

При вычитании отрицательного числа можно по ошибке оставить знак вычитания или поменять знак не у того числа. Вычитание заменяют сложением противоположного именно вычитаемого: a − (−b) = a + b. Проверь запись по формуле a − b = a + (−b), прежде чем считать.

Если модули слагаемых равны, но знаки разные, иногда записывают ответ с плюсом или минусом. Такие числа противоположны и полностью компенсируют друг друга, значит, сумма равна нулю. Проверка проста: прибавление числа и его противоположного не меняет исходное значение.

Связь с другими темами

Для этой темы пригодятся координаты чисел на числовой прямой и понятие модуля: они помогают представить направление и длину движения. Также нужно уверенно работать со знаками целых чисел и помнить, что скобки сохраняют число целиком. Те же правила применяются при сложении и вычитании обыкновенных и десятичных дробей. Они нужны при преобразовании выражений и решении уравнений, где приходится переносить числа и упрощать записи.

Что запомнить

• При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают модули и сохраняют общий знак.
• При сложении чисел с разными знаками вычитают меньший модуль из большего.
• Знак суммы чисел с разными знаками совпадает со знаком числа с большим модулем.
• Сумма противоположных чисел равна нулю.
• Вычитание числа заменяется сложением противоположного: a − b = a + (−b).
• Сумма и разность рациональных чисел — рациональные числа.