Сравнение дробей

Определения и обозначения

Сравнение дробей — определение того, какая из двух дробей больше, меньше или равна другой. Для записи используют знаки >, < и =. Например, запись 2/5 < 3/5 означает, что две пятых меньше трёх пятых. Сравнение нужно, чтобы устанавливать порядок дробей и выбирать нужную величину.

Общий знаменатель — число, которым можно заменить знаменатели сравниваемых дробей, не меняя значений дробей. Например, для 1/3 и 1/4 общим знаменателем может быть 12. С ним обе дроби можно выразить в одинаковых по размеру частях. После этого сравнивать их удобнее.

Дополнительный множитель — число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы получить нужный знаменатель. Например, для превращения знаменателя 3 в 12 дополнительный множитель равен 4. На 4 умножают не только знаменатель, но и числитель. Так дробь сохраняет прежнее значение.

Перекрёстное умножение — способ сравнить дроби с положительными знаменателями, сравнив произведения числителей и противоположных знаменателей. Для дробей a/b и c/d это произведения ad и bc. Метод позволяет обойтись без записи общего знаменателя. Он удобен, если произведения легко вычислить.

Как это устроено

Если знаменатели одинаковы, сравнивают числители. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, поэтому при одинаковых знаменателях части имеют один и тот же размер. Дробь с большим числителем содержит больше таких частей. Например, 5/8 больше 3/8, потому что пятых? В данном случае речь о восьмых: пяти восьмых больше, чем трёх восьмых.

Если числители одинаковые и положительные, больше дробь с меньшим знаменателем. Числитель показывает, сколько частей взяли, а знаменатель — размер этих частей. Когда целое делят на меньшее число равных частей, каждая часть получается крупнее. Поэтому 3/5 больше 3/8: в обоих случаях взяли три части, но пятые крупнее восьмых.

При разных знаменателях можно сначала сделать их одинаковыми. Для этого числитель и знаменатель каждой дроби умножают на одно и то же ненулевое число: дробь меняет запись, но не значение. Например, 1/3 можно записать как 4/12, потому что 1 · 4 и 3 · 4. Когда знаменатели совпали, снова достаточно сравнить числители.

Общий знаменатель удобно выбирать среди общих кратных знаменателей, то есть чисел, которые делятся на каждый из них. Часто берут наименьшее общее кратное: с ним преобразованные числа обычно меньше, и считать проще. Например, для 6 и 8 наименьшее общее кратное равно 24. Затем находят дополнительный множитель для каждой дроби и умножают на него и числитель, и знаменатель.

Для дробей a/b и c/d с положительными знаменателями можно сравнить ad и bc. Если привести их к знаменателю bd, получатся дроби ad/bd и bc/bd. Знаменатели теперь одинаковы и положительны, поэтому сравнение сводится к числителям ad и bc. Именно это объясняет правило перекрёстного умножения; важно умножать числитель каждой дроби на знаменатель другой.

Способы сравнения дробей

Сначала посмотри, одинаковы ли знаменатели или числители: в этих случаях сравнение особенно быстрое. Если ни одно правило не подходит, найди общий знаменатель либо используй перекрёстное умножение при положительных знаменателях. Выбирай тот способ, в котором меньше вычислений.

Разбор задач

Задача 1. Сравните 5/9 и 7/9. Знаменатели равны, значит, дроби состоят из девятых — одинаковых по размеру частей. Сравним, сколько таких частей взято в каждой дроби. Для этого достаточно сопоставить числа 5 и 7.

1. Знаменатель каждой дроби равен 9, поэтому приводить дроби к другому знаменателю не нужно. Числитель первой дроби равен 5, второй — 7. Поскольку 5 < 7, вторая дробь содержит больше девятых.

2. Запишем вывод с помощью знака сравнения. Получаем 5/9 < 7/9. Проверь себя: если разделить одинаковое целое на девять частей, семь таких частей больше пяти.

Ответ: 5/9 < 7/9.

Задача 2. Сравните 3/8 и 3/5. Здесь числители равны и положительны, поэтому можно сравнить знаменатели. Важно не решить, что знаменатель 8 больше и потому больше сама дробь. Больший знаменатель означает, что целое разделили на большее число частей, а части стали мельче.

1. В обеих дробях взято по три части. Сравним размеры частей: восьмая часть меньше пятой, потому что целое разделено на восемь частей вместо пяти. Значит, три восьмых меньше трёх пятых.

2. Запишем полученный вывод: 3/8 < 3/5. Можно проверить его приведением к знаменателю 40: 3/8 = 15/40, а 3/5 = 24/40. Сравнение одинаковых знаменателей подтверждает результат.

Ответ: 3/8 < 3/5.

Задача 3. Сравните 5/12 и 7/18. Знаменатели разные, поэтому сравнить только числители нельзя. Выберем общий знаменатель: наименьшее общее кратное 12 и 18 равно 36. После приведения сравним числители полученных дробей.

1. Чтобы получить знаменатель 36 из 12, умножаем на 3. Значит, умножаем на 3 и числитель: 5/12 = 15/36. Чтобы получить 36 из 18, умножаем на 2, поэтому 7/18 = 14/36.

2. Теперь знаменатели равны, и можно сравнить числители: 15 > 14. Следовательно, 15/36 больше 14/36, а значит, 5/12 больше 7/18. Проверка перекрёстным умножением даёт то же: 5 · 18 = 90, а 7 · 12 = 84; 90 > 84.

Ответ: 5/12 > 7/18.

Типичные ошибки

Считают, что дробь с большим знаменателем больше. Так рассуждают, воспринимая знаменатель как обычное число и забывая, что он показывает размер частей. При одинаковых положительных числителях верно обратное: больший знаменатель означает меньшие части. Проверь себя на одинаковом числителе, например, сравни 1/3 и 1/5: треть больше пятой.

Умножают только знаменатель при приведении дроби. Так может случиться, если сосредоточиться лишь на получении общего знаменателя. Но тогда меняется значение дроби, ведь число частей увеличилось, а количество взятых частей осталось прежним. Всегда применяй один и тот же дополнительный множитель к числителю и знаменателю. Проверь, что новая дробь равна исходной.

Сравнивают числители при разных знаменателях. Больший числитель сам по себе не означает большую дробь: части могут быть разного размера. Такую ошибку допускают, перенося правило для одинаковых знаменателей на любой случай. Сначала уравняй знаменатели или используй другой подходящий способ, а затем сравнивай.

Неверно выполняют перекрёстное умножение. Можно сравнить числители друг с другом или умножить числитель на знаменатель той же дроби. Для a/b и c/d нужны именно произведения ad и bc. Перед выводом подпиши пары множителей и проверь, что сравниваешь числитель первой дроби на знаменатель второй с числителем второй на знаменатель первой.

Связь с другими темами

Перед сравнением дробей нужно понимать, что числитель показывает количество взятых частей, а знаменатель — на сколько равных частей разделено целое. Также пригодятся равные дроби и основное свойство дроби: умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число сохраняет её значение. Эти знания позволяют правильно привести дроби к общему знаменателю. Сравнение дробей понадобится, когда нужно упорядочить рациональные числа, решить неравенство или выбрать большую либо меньшую величину в задаче.

Что запомнить

• При одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем.
• При одинаковых положительных числителях больше дробь с меньшим знаменателем.
• Разные знаменатели можно заменить общим знаменателем.
• При приведении дроби к новому знаменателю числитель и знаменатель умножают на одно и то же число.
• Для положительных знаменателей a/b и c/d сравнивают ad и bc.
• Перед сравнением проверьте, что преобразования не изменили значения дробей.