"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Разность квадратов и сумма или разность кубов — выражения, которые можно представить в виде произведения множителей по специальным формулам. Такие преобразования помогают разлагать многочлены на множители, упрощать выражения и сокращать алгебраические дроби. Главное — распознать квадраты или кубы, правильно определить выражения a и b и не перепутать знаки во втором множителе формул кубов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разностью квадратов называют выражение вида a² − b², где a и b — некоторые числа или выражения. Например, x² − 25 — разность квадратов, потому что 25 = 5². Такое название помогает заметить подходящую формулу и быстро заменить выражение произведением.
Разложить разность квадратов на множители — значит представить её как произведение: a² − b² = (a − b)(a + b). В скобках стоят разность и сумма тех же выражений a и b. Формула работает не только с числами и буквами, но и с более сложными выражениями, поэтому её удобно применять к многочленам.
Разность кубов — выражение вида a³ − b³. Она раскладывается на произведение разности оснований и неполного квадрата суммы: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Неполным квадратом здесь называют трёхчлен, похожий на квадрат суммы, но без удвоенного среднего слагаемого.
Сумма кубов — выражение вида a³ + b³. Её можно представить как произведение суммы оснований и неполного квадрата разности: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Это разложение позволяет работать с суммой кубов так же системно, как с разностью, но знак среднего слагаемого во втором множителе будет другим.
Чтобы понять формулу разности квадратов, раскроем скобки в произведении (a − b)(a + b). По распределительному свойству получаем a² + ab − ab − b². Слагаемые +ab и −ab — противоположные, поэтому их сумма равна нулю. Остаётся a² − b², и именно поэтому произведение суммы и разности даёт разность квадратов.
Формулы кубов можно проверить таким же способом, только при умножении появляется больше слагаемых. В произведении (a − b)(a² + ab + b²) после раскрытия скобок возникают a³, a²b, ab², −a²b, −ab² и −b³. Средние пары взаимно уничтожаются, и остаётся a³ − b³. Значит, разность кубов раскладывается именно по этой формуле.
Для суммы кубов проверяем произведение (a + b)(a² − ab + b²). После умножения получаем a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³. Два смешанных слагаемых сокращаются попарно, а остаются a³ и b³. Поэтому формула суммы кубов содержит во втором множителе минус перед ab.
Множители в формулах кубов устроены не случайно. Первый повторяет сумму или разность тех выражений, которые возводились в куб, а второй содержит квадраты этих выражений и их произведение. Такой трёхчлен нужен, чтобы смешанные слагаемые при умножении уничтожились и в результате остались только кубы.
Если вместо a и b стоят сложные выражения, нужно определить их целиком и подставить в формулу, не теряя скобок. Например, в выражении (x + 1)³ − 8y³ роль a играет x + 1, а роль b — 2y. После подстановки полезно раскрыть скобки в произведении и сравнить получившиеся слагаемые с исходным выражением: так можно обнаружить ошибку в основании или знаке.
| Исходное выражение | Разложение на множители | Проверка раскрытием скобок |
|---|---|---|
| a² − b² | (a − b)(a + b) | a² − b² |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) | a³ − b³ |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) | a³ + b³ |
Сначала сравни исходное выражение с первым столбцом и найди, что обозначают a и b. Затем перепиши его по формуле из второго столбца, сохраняя знаки и скобки. Третий столбец показывает результат, который должен получиться при проверке раскрытием скобок.
В выражении два слагаемых, между ними стоит минус, а оба слагаемых можно записать как квадраты. Число 49 — это 7², поэтому перед нами разность квадратов с основаниями x и 7. Теперь применим формулу разности квадратов.
Ответ: (x − 7)(x + 7). При проверке раскрываем скобки: x² + 7x − 7x − 49 = x² − 49. Средние слагаемые исчезли, значит, разложение выполнено верно.
Здесь нужно искать сумму кубов, поэтому представим числа 8 и 27 как кубы. Важно определить основания целиком: 8a³ = (2a)³, так как при возведении 2a в куб получаем 8a³. Аналогично 27b³ = (3b)³.
Ответ: (2a + 3b)(4a² − 6ab + 9b²). При раскрытии скобок смешанные слагаемые −12a²b и +12a²b, а также +18ab² и −18ab² взаимно уничтожаются. Остаются 8a³ и 27b³, как в исходном выражении.
Это разность кубов, хотя основания здесь не просто отдельные буквы. Первое слагаемое уже является кубом выражения x + 1, а второе можно записать как (2y)³, потому что (2y)³ = 8y³. Значит, в формуле следует взять a = x + 1 и b = 2y.
Ответ: ((x + 1) − 2y)((x + 1)² + 2y(x + 1) + 4y²). Скобки вокруг x + 1 нужны, потому что основание куба — всё выражение целиком. Для проверки можно раскрыть произведение по формуле и получить (x + 1)³ − (2y)³, то есть исходное выражение.
Нельзя применять формулу разности квадратов к сумме квадратов: a² + b² — не то же самое, что a² − b². Ошибка возникает, когда ученик замечает квадраты, но не учитывает знак между ними. Проверь себя раскрытием скобок: (a − b)(a + b) даёт a² − b², а не сумму квадратов.
В формулах кубов легко забыть средний член второго множителя или поставить перед ним неверный знак. Обычно это происходит потому, что формулы похожи и запоминаются как одна. Для разности кубов средний член положительный, для суммы — отрицательный; раскрытие скобок покажет, уничтожаются ли смешанные слагаемые.
Второй множитель формулы кубов — трёхчлен, а не квадрат двучлена. Например, a² + ab + b² нельзя заменять на квадрат суммы: в (a + b)² средний член равен 2ab. Чтобы не смешать записи, сверяй каждый член со схемой формулы и не добавляй коэффициенты, которых в ней нет.
Иногда неверно выбирают основание куба, например считают, что основание для 8a³ — это 8a. Но (8a)³ не равно 8a³: при возведении восьмёрки в куб получится 512. Проверь выбор возведением в куб: правильное основание — 2a, потому что (2a)³ = 8a³.
Для работы с формулами нужно уметь возводить одночлены и двучлены в квадрат и куб, а также находить квадрат или куб целого выражения. Понимание раскрытия скобок и распределительного свойства умножения позволяет проверять формулы и преобразовывать произведения. Разложение на множители пригодится при упрощении выражений и сокращении алгебраических дробей: если числитель и знаменатель имеют общий множитель, его можно сократить при допустимых значениях переменной.
Почему сумма квадратов не раскладывается по формуле разности квадратов?
Формула (a − b)(a + b) при раскрытии скобок даёт a² − b²: средние слагаемые уничтожаются, а квадрат второго числа получается со знаком минус. Поэтому она не подходит для a² + b². Например, (a − b)(a + b) не равно a² + b².
Как быстро определить, что выражение является разностью квадратов?
Проверь, можно ли записать оба слагаемых как квадраты, а между ними стоит знак минус. Например, x² − 49 = x² − 7². Затем примени формулу (a − b)(a + b).
Почему во втором множителе формулы разности кубов все знаки положительные?
При раскрытии скобок в произведении (a − b)(a² + ab + b²) смешанные слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются только a³ и −b³. Поэтому во втором множителе оба знака между слагаемыми положительные.
Как применить формулу, если вместо a и b стоят многочлены?
Нужно целиком принять каждый многочлен за отдельное выражение: например, a = x + 1, b = 2y. Затем подставить эти выражения в формулу, сохраняя скобки и возводя в степень всё выражение целиком.
Как проверить, что разложение на множители выполнено верно?
Раскрой скобки в полученном произведении, используя распределительное свойство умножения. Если после приведения подобных слагаемых получилось исходное выражение, разложение верное. Если нет, проверь выбор a и b и знаки.
Формулы разности квадратов, разности и суммы кубов
