Формулы разности и суммы кубов

Определения и обозначения

Разностью кубов называют выражение вида a³ − b³. Здесь a и b могут быть числами, например 5 и 2, или целыми выражениями, например x и y + 1. Такое название помогает сразу заметить структуру многочлена и понять, что его можно разложить на множители.

Сумма кубов — выражение вида a³ + b³. Оба слагаемых должны быть кубами: например, 8 + x³ — это 2³ + x³. Распознавание кубов нужно, чтобы не принять обычную сумму за сумму кубов и верно выбрать правило разложения.

Формула разности кубов — тождество a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Тождество означает равенство, которое верно при любых допустимых значениях букв. Формула заменяет разность кубов произведением и поэтому помогает разложить многочлен на множители.

Формула суммы кубов — тождество a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). В ней a и b обозначают основания кубов, а не сами кубы. Это правило нужно для разложения суммы, причём во втором множителе знак перед ab будет минусом.

Как это устроено

Проверить формулы можно раскрытием скобок. Для разности получаем a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³, и смешанные слагаемые попарно сокращаются. Для суммы выходит a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³, поэтому остаются только a³ и b³.

У каждой формулы два множителя с понятным устройством. Первый повторяет сумму или разность оснований: a + b либо a − b. Второй содержит квадраты обоих оснований и их произведение, потому что именно такие слагаемые при умножении создают пары, которые могут сократиться.

Чтобы выбрать правило, сначала найди кубы, а затем посмотри на знак между ними. Если знак минус, применяй формулу разности, если плюс — формулу суммы. Такой порядок не даёт перепутать знаки и помогает проверить, действительно ли оба слагаемых являются кубами.

Основаниями могут быть выражения, а не только отдельные буквы. Например, в (2x)³ − (y − 1)³ нужно вместо a подставить 2x, а вместо b — y − 1. Тогда первый множитель равен 2x − (y − 1), а второй — (2x)² + 2x(y − 1) + (y − 1)².

Готовое разложение можно проверить умножением. Раскрой скобки и сгруппируй смешанные слагаемые с одинаковыми буквенными частями. Если они уничтожились, а оставшиеся слагаемые совпали с исходными кубами, формула применена правильно.

Формулы суммы и разности кубов

Сначала найди строку с исходным выражением и прочитай оба множителя. Две нижние строки помогают быстро проверить знаки: в первом множителе знак сохраняется, а перед ab во втором меняется на противоположный. Если в основании есть скобки, подставляй его целиком.

Разбор задач

Разложите на множители x³ − 8.

1. Сначала определим, что оба слагаемых — кубы: x³ уже записан как куб, а 8 = 2³. Поэтому основаниями будут x и 2. Между кубами стоит минус, значит, нужна формула разности.
2. Запишем правило a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Вместо a подставим x, вместо b — 2. Получим (x − 2)(x² + 2x + 4).
3. Проверим умножением: x умножается на все слагаемые второй скобки, затем вычитается удвоенная скобка. Смешанные части сокращаются, остаётся x³ − 8. Значит, разложение выполнено верно.

Ответ: (x − 2)(x² + 2x + 4).

Разложите на множители 27a³ + b³.

1. Представим первое слагаемое как куб: 27a³ = (3a)³, а второе уже записано как b³. Значит, основания кубов — 3a и b. Знак между ними плюс, поэтому выбираем формулу суммы.
2. Подставим основания в равенство a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Первый множитель будет 3a + b. Во втором заменим буквы и получим (3a)² − 3ab + b².
3. Вычислим квадрат: (3a)² = 9a². Итак, произведение имеет вид (3a + b)(9a² − 3ab + b²). При умножении смешанные слагаемые сократятся, оставив 27a³ + b³.

Ответ: (3a + b)(9a² − 3ab + b²).

Разложите на множители (x + 1)³ − 8y³.

1. Первое основание уже стоит в скобках: это x + 1. Во втором слагаемом выделим куб: 8y³ = (2y)³, поэтому второе основание — 2y. Между кубами минус, значит, используем формулу разности.
2. Подставим a = x + 1 и b = 2y в запись (a − b)(a² + ab + b²). Получим первый множитель (x + 1) − 2y. Второй множитель равен (x + 1)² + 2y(x + 1) + (2y)².
3. Вычислим последний квадрат: (2y)² = 4y². Получаем (x + 1 − 2y)((x + 1)² + 2y(x + 1) + 4y²). Скобки во втором множителе можно раскрыть, но для разложения это не требуется.

Ответ: (x + 1 − 2y)((x + 1)² + 2y(x + 1) + 4y²).

Типичные ошибки

Иногда для суммы записывают (a + b)(a² + ab + b²), перенося знаки из формулы разности. Так делают, потому что первый множитель кажется главным, но при умножении смешанные слагаемые не сокращаются. Проверь раскрытием скобок: правильная формула суммы содержит минус перед ab.

В разности кубов могут ошибочно написать a² − ab + b² во втором множителе. Здесь знак перед произведением должен быть противоположен знаку между кубами, поэтому при разности перед ab ставится плюс. Если сомневаешься, раскрой скобки и проверь сокращение смешанных слагаемых.

Не выделив основание, можно принять 8x³ за куб x. Однако 8x³ = (2x)³, поэтому в формуле вместо a нужно подставить 2x. Проверка простая: возведи предполагаемое основание в третью степень и сравни результат с исходным слагаемым.

Ещё одна ошибка — заменить второй множитель выражением a + b или записать в нём неверные степени. Во втором множителе обязательно есть a², ab и b², а не только основания без степеней. Перед ответом сверь каждый член со схемой формулы и при необходимости раскрой произведение.

Связь с другими темами

Для работы с формулами нужно уметь возводить одночлены в куб и узнавать кубы чисел, например 8 = 2³ и 27 = 3³. Также важно правильно считать степени буквенных выражений, чтобы заметить, что 8x³ = (2x)³. Эти навыки помогают верно выделить основания, прежде чем применять формулу.

Разложение суммы и разности кубов на множители используется при преобразовании многочленов. Например, множители могут сократиться при работе с алгебраическими дробями, если выполнены условия сокращения. Поэтому формулы связывают преобразование многочленов с последующими вычислениями с дробями.

Что запомнить

• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
• Во втором множителе знак перед ab противоположен знаку между кубами.
• Перед применением формулы нужно выделить основания кубов.
• Верность разложения можно проверить раскрытием скобок.