"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Разность квадратов — выражение, в котором из одного квадрата вычитают другой: a² − b². Его можно заменить произведением сопряжённых двучленов: a² − b² = (a − b)(a + b). Эта формула помогает раскладывать выражения на множители, упрощать вычисления и быстро перемножать близкие числа. Главное — проверить, что перед нами именно разность квадратов, а квадрат относится ко всему выражению, даже если оно записано в скобках.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², где из квадрата одного выражения вычитают квадрат другого. Например, x² − 16 — разность квадратов, потому что 16 = 4². Это название помогает сразу заметить подходящий вид выражения и выбрать способ его преобразования.
Формула разности квадратов — равенство a² − b² = (a − b)(a + b), позволяющее представить разность квадратов в виде произведения. Например, x² − 25 можно записать как (x − 5)(x + 5). Формула нужна, чтобы заменить вычитание квадратов умножением двух выражений.
Сопряжённые двучлены — двучлены, отличающиеся знаком между одинаковыми слагаемыми, например a − b и a + b. Двучлен — это выражение из двух частей, соединённых знаком плюс или минус. Сопряжённые двучлены появляются в формуле разности квадратов, и именно их удобно перемножать.
Разложение на множители — представление выражения в виде произведения нескольких множителей. Например, запись x² − 9 = (x − 3)(x + 3) — разложение на множители. Оно помогает упрощать выражения и решать задачи, в которых произведение оказывается удобнее исходной разности.
Начнём с произведения сопряжённых двучленов: (a − b)(a + b). Раскроем скобки: a · a + a · b − b · a − b · b = a² + ab − ab − b². Слагаемые ab и −ab взаимно уничтожаются, потому что их сумма равна нулю. Поэтому остаётся a² − b², и мы получаем формулу разности квадратов.
Равенство можно читать в двух направлениях, потому что его левая и правая части равны. Если перед нами a² − b², заменяем его произведением (a − b)(a + b) — так выполняется разложение на множители. Если встретилось произведение (a − b)(a + b), можно заменить его на a² − b². Например, такой переход часто позволяет быстрее выполнить вычисление.
Чтобы распознать разность квадратов, сначала найди два слагаемых и проверь знак между ними. Затем выясни, можно ли каждое слагаемое представить как квадрат: например, 49 = 7², а 9x² = (3x)². Если перед квадратами стоит минус, формула подходит. Если стоит плюс, это уже не разность квадратов, поэтому применять равенство нельзя.
Вместо a и b могут быть числа, переменные или целые выражения. Например, в выражении 9a² − (b + 2)² роль a в формуле играет 3a, а роль b — всё выражение b + 2. При возведении в квадрат важно не потерять скобки: (b + 2)² означает, что квадрат возводят всему двучлену, а не только числу 2. По той же причине (3a)² = 9a².
Формула помогает упростить вычисления, если числа близки к удобному круглому числу. Например, 103 · 97 можно записать как (100 + 3)(100 − 3), а затем заменить произведение разностью квадратов. Получится 100² − 3² = 10000 − 9 = 9991. Вместо умножения трёхзначных чисел достаточно вычесть небольшой квадрат из круглого числа.
В таблице собраны три ситуации, в которых встречается формула разности квадратов, и действия для каждой из них. Сначала определите, что дано: разность или произведение сопряжённых двучленов. Затем проверьте, правильно ли записаны квадраты и скобки.
Используйте формулу в нужном направлении: разность квадратов превращайте в произведение, а произведение сопряжённых двучленов — в разность. Особое внимание уделите выражениям в скобках: при возведении в квадрат они целиком становятся основанием степени.
| Ситуация | Что проверить или сделать | Результат |
|---|---|---|
| Разность квадратов | Проверить, что оба слагаемых — квадраты и между ними стоит знак минус | a² − b² = (a − b)(a + b) |
| Произведение сопряжённых двучленов | Сложить и вычесть одинаковые выражения | (a − b)(a + b) = a² − b² |
| Квадраты выражений | Возвести в квадрат каждый множитель отдельно | (2x)² = 4x²; (x + 1)² — квадрат всего двучлена |
Задача 1. Разложите на множители x² − 49. Сначала проверим, подходит ли формула: перед нами разность, а оба слагаемых можно записать как квадраты. Второе слагаемое — 49 = 7², значит, в формуле вместо a будет x, а вместо b — 7.
Ответ: x² − 49 = (x − 7)(x + 7). Получились сопряжённые двучлены, произведение которых по формуле равно исходной разности квадратов.
Задача 2. Разложите на множители 9a² − (b + 2)². Здесь квадратами являются не только отдельные числа или буквы, но и целые выражения. Первое слагаемое — это (3a)², а второе уже записано как квадрат двучлена. Поэтому подставим в формулу вместо a выражение 3a, а вместо b — b + 2.
Ответ: (3a − (b + 2))(3a + (b + 2)), или (3a − b − 2)(3a + b + 2). В обоих множителях участвуют те же выражения, но соединены разными знаками.
Задача 3. Вычислите 103 · 97, не выполняя умножение столбиком. Числа 103 и 97 одинаково удалены от 100: одно на 3 больше, другое на 3 меньше. Поэтому запишем их как 100 + 3 и 100 − 3. Это сопряжённые двучлены, и их произведение можно заменить разностью квадратов.
Ответ: 103 · 97 = 9991. Такой приём срабатывает благодаря тому, что числа расположены по разные стороны от одного и того же числа и образуют сопряжённые двучлены.
Первая ошибка — применять формулу к сумме квадратов, например считать, что a² + b² = (a − b)(a + b). Так делают, потому что замечают два квадрата, но не проверяют знак между ними. Перед преобразованием проверь, что стоит именно минус: формула относится только к разности квадратов.
Вторая ошибка — считать, что (x + 2)² = x² + 4. При возведении в квадрат нельзя просто возвести в квадрат каждое слагаемое и забыть о произведении между ними. Чтобы проверить себя, раскрой скобки: квадрат двучлена включает также среднее слагаемое 4x.
Третья ошибка — записывать в обоих множителях одинаковые знаки, например (a − b)(a − b). Такие множители не являются сопряжёнными, поэтому средние слагаемые не уничтожатся. Проверь запись раскрытием скобок: в формуле нужны (a − b)(a + b), чтобы получить a² − b².
Четвёртая ошибка — неверно возводить в квадрат коэффициент: например, записывать (3x)² = 3x². В квадрат нужно возвести и число 3, и переменную x, поэтому (3x)² = 3² · x² = 9x². Для проверки возведи в квадрат каждый множитель отдельно.
Для применения формулы нужно уметь возводить в квадрат числа и одночлены, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Доказательство формулы связано с умножением многочленов: именно раскрытие скобок показывает, почему средние слагаемые исчезают. Она также опирается на формулы квадрата суммы и квадрата разности, в которых встречаются те же выражения a и b.
Разложение на множители с помощью разности квадратов пригодится в следующих темах. Так можно преобразовывать выражения, сокращать дроби и упрощать вычисления. Формула может помочь и при решении уравнений, когда разложенное произведение позволяет найти значения переменной.
Как понять, можно ли применить формулу разности квадратов?
Проверь, что выражение состоит из двух частей со знаком минус. Затем убедись, что каждая часть является квадратом числа, переменной или целого выражения. Например, x² − 25 подходит, потому что 25 = 5².
Почему в множителях стоят разные знаки?
При раскрытии скобок в произведении (a − b)(a + b) появляются слагаемые ab и −ab. Они взаимно уничтожаются, и остаётся a² − b². Если поставить одинаковые знаки, средние слагаемые не исчезнут.
Можно ли применить формулу, если вместо одной буквы стоит выражение в скобках?
Да, вместо a или b может быть любое выражение. Например, в 9a² − (b + 2)² можно взять 3a и b + 2. При возведении в квадрат скобки относятся ко всему выражению.
Чем разность квадратов отличается от суммы квадратов?
В разности квадратов между слагаемыми стоит минус: a² − b². Именно для такого выражения верно равенство a² − b² = (a − b)(a + b). Сумму квадратов a² + b² по этой формуле разложить нельзя.
Как использовать формулу для быстрого умножения чисел?
Представь числа как сумму и разность одного и того же числа: например, 103 · 97 = (100 + 3)(100 − 3). Затем используй формулу (a + b)(a − b) = a² − b². Так вычисление сводится к разности двух квадратов.
Формула разности квадратов
