§ 21. Формула разности квадратов

Определения и обозначения

Разность квадратов — выражение вида a² − b², где a и b — любые выражения. Например, 25 − 9 и x² − y² имеют такую форму. Это название помогает сразу заметить, что перед нами разность двух квадратов, а не квадрат разности.

Формула разности квадратов — тождество a² − b² = (a − b)(a + b), позволяющее представить разность квадратов как произведение. Тождеством называют равенство, которое верно при любых допустимых значениях букв. Формула нужна, чтобы быстро заменить разность квадратов произведением.

Сопряжённые двучлены — двучлены a − b и a + b, отличающиеся только знаком между одинаковыми слагаемыми. Двучлен — выражение из двух частей, соединённых знаком действия. Понятие помогает не перепутать множители: один содержит разность, другой — сумму.

Разложение на множители по формуле разности квадратов — замена выражения a² − b² произведением (a − b)(a + b). Например, вместо разности квадратов можно записать два сопряжённых двучлена в скобках. Такое преобразование удобно, когда нужно представить многочлен в виде произведения.

Как это устроено

Формулу можно получить, раскрыв скобки в произведении (a − b)(a + b). По правилу умножения каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй: получаем a², ab, −ab и −b². Средние слагаемые взаимно уничтожаются, потому что ab и −ab в сумме дают ноль, и остаётся a² − b².

Равенство верно при любых значениях a и b, поэтому вместо букв можно подставлять числа, переменные и целые выражения. Причина в том, что раскрытие скобок работает одинаково для любых таких подстановок. Например, роль b может выполнять не только y, но и выражение 2y − 1.

Чтобы использовать формулу слева направо, сначала ищут разность, то есть два слагаемых со знаком минус между ними. Затем проверяют, является ли каждое слагаемое квадратом: например, 16x² — это квадрат 4x, а 49y² — квадрат 7y. Если хотя бы одно слагаемое не является квадратом подходящего выражения, сразу применить формулу нельзя.

При разложении a² − b² в скобки записывают основания квадратов: разность оснований и их сумму. Именно эти два выражения становятся множителями, потому что при их перемножении средние слагаемые исчезают. Так из a² − b² получается пара сопряжённых двучленов (a − b) и (a + b).

Проверка раскрытием скобок помогает заметить ошибку со знаками. Если записать два одинаковых знака, например (a − b)(a − b), средние слагаемые не уничтожатся и получится квадрат разности, а не разность квадратов. Значит, в правильной записи один множитель должен содержать минус, а другой — плюс.

Как применять формулу разности квадратов

Таблица показывает, как узнавать подходящие выражения и во что их превращать. Найди ситуацию, похожую на свою задачу, затем проверь знаки и основания квадратов. После разложения можно раскрыть скобки и сравнить результат с исходным выражением.

Разбор задач

Задача 1. Разложите на множители 25 − 9. Числа 25 и 9 — квадраты чисел 5 и 3, а между ними стоит минус. Значит, можно применить формулу разности квадратов.

1. Представим выражение как 5² − 3².
2. В формуле основания квадратов заменяют на 5 и 3: получаем (5 − 3)(5 + 3).
3. Вычислим множители: 2 · 8 = 16.

Ответ: 25 − 9 = (5 − 3)(5 + 3) = 16. Разложение записано в виде произведения, а его значение равно исходной разности.

Задача 2. Разложите на множители 16x² − 49y². Здесь оба слагаемых — квадраты одночленов: 16x² = (4x)² и 49y² = (7y)². Знак между ними — минус, поэтому условия формулы выполнены.

1. Найдём основания квадратов: 4x и 7y.
2. Запишем разность оснований в первой скобке, а сумму — во второй: (4x − 7y)(4x + 7y).
3. Проверим раскрытием: средние слагаемые −28xy и 28xy уничтожаются, остаются 16x² − 49y².

Ответ: (4x − 7y)(4x + 7y). Проверка показывает, что в произведении действительно получается исходный многочлен.

Задача 3. Разложите на множители x² − (2y − 1)². Второе слагаемое — квадрат целого выражения 2y − 1, поэтому оно играет роль b². Скобки важно сохранить: основанием квадрата является всё выражение, а не только отдельный его член.

1. Определим основания квадратов: a = x, b = 2y − 1.
2. Подставим их в формулу: (x − (2y − 1))(x + (2y − 1)).
3. При желании упростим скобки: (x − 2y + 1)(x + 2y − 1).

Ответ: (x − (2y − 1))(x + (2y − 1)), или (x − 2y + 1)(x + 2y − 1). Оба варианта равносильны, потому что во втором скобки раскрыты правильно.

Типичные ошибки

• Пишут a² − b² как (a − b)². Так путают разность квадратов с квадратом разности: в последнем выражении есть дополнительное слагаемое −2ab. Чтобы проверить себя, раскрой скобки в предполагаемом ответе и сравни результат с исходным выражением.
• Ставят одинаковые знаки в обоих множителях. Это происходит, когда забывают, что нужны сопряжённые двучлены. Проверь раскрытием скобок: средние слагаемые должны иметь противоположные знаки и уничтожаться.
• Применяют формулу к сумме квадратов a² + b². Похожий вид выражения может сбить с толку, но в формуле между квадратами стоит минус. Сверь знак в исходной записи с формулой: к сумме квадратов это разложение не подходит.
• Теряют скобки при возведении выражения в квадрат. Например, неверно считать, что (2x − 1)² = 4x² − 1: при умножении появляются ещё два средних слагаемых, в данном случае −4x. Раскрой квадрат как произведение (2x − 1)(2x − 1), чтобы не пропустить их.

Связь с другими темами

Чтобы применять формулу, нужно знать, как возводят в квадрат число и одночлен, в том числе произведение, а также уметь раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти действия помогают распознать основания квадратов и проверить полученные множители. Формула разности квадратов, в свою очередь, пригодится при разложении многочленов на множители и сокращении алгебраических дробей. В таких задачах она позволяет заменить разность квадратов произведением и продолжить преобразования.

Что запомнить

• a² − b² = (a − b)(a + b).
• Формула работает для любых выражений, подставленных вместо a и b.
• Разность квадратов — это разность двух квадратов, а не квадрат разности.
• В множителях стоят сопряжённые двучлены.
• Сумму квадратов этой формулой разложить нельзя.
• Правильность разложения можно проверить раскрытием скобок.