"Алгебра", Алимов Ш.А.
Разность квадратов — это выражение, в котором из одного квадрата вычитают другой, например x² − 9. Такое выражение можно заменить произведением: a² − b² = (a − b)(a + b). Формула помогает быстрее раскладывать многочлены на множители, упрощать выражения и выполнять вычисления. Главное — убедиться, что перед нами именно разность квадратов, и правильно определить, какие выражения скрываются за a и b.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², то есть разность квадратов двух выражений. Например, x² − 16 — это разность квадратов x и 4, потому что 16 = 4². Такое название помогает сразу заметить, что выражение может подходить для специального правила.
Формула разности квадратов — равенство a² − b² = (a − b)(a + b), связывающее разность квадратов с произведением. Буквы a и b обозначают любые подходящие выражения, а не только числа. Формула нужна, чтобы быстро перейти от разности квадратов к произведению.
Разложение на множители по формуле разности квадратов — представление выражения a² − b² в виде произведения (a − b)(a + b). Например, x² − 25 можно записать как (x − 5)(x + 5). Получившееся произведение иногда удобнее исходной разности при упрощении выражений и решении задач.
Сопряжённые двучлены — двучлены с одинаковыми слагаемыми и противоположными знаками между ними: a − b и a + b. Двучлен — это выражение из двух частей, соединённых знаком плюс или минус. Название помогает узнать произведение, которое сворачивается в разность квадратов.
Формулу можно получить, раскрыв скобки в произведении (a − b)(a + b). По распределительному свойству умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй: получаем a² + ab − ab − b². После приведения подобных слагаемых остаётся a² − b², поэтому запись равенства работает в обе стороны.
Средние слагаемые ab и −ab появляются из перекрёстного умножения: a умножается на b, а −b — на a. Это противоположные числа, их сумма равна нулю. Поэтому при умножении сопряжённых двучленов не остаётся члена с произведением ab, и результат состоит только из квадратов.
Чтобы распознать разность квадратов, сначала проверь знак между двумя частями: должен стоять минус. Затем убедись, что обе части являются квадратами, например 36 = 6² и x² = x². Если стоит плюс, это сумма квадратов, и формулу a² − b² применять нельзя: при раскрытии скобок произведение сопряжённых двучленов даёт именно минус.
Вместо a и b можно подставлять числа, переменные и целые выражения. Например, если a = x, а b = 3y, то a² − b² превращается в x² − (3y)², а произведение — в (x − 3y)(x + 3y). Подстановка целого выражения нужна, когда квадратом является не одна буква, а, например, 9y² или (x + 1)².
Формула полезна не только для разложения на множители, но и для упрощения выражений и вычислений. Нужно выбрать a и b так, чтобы исходная запись совпала с a² − b² или с произведением (a − b)(a + b). Например, число 49 − 1 удобно заменить на (7 − 1)(7 + 1), а затем вычислить произведение 6 · 8. Такая замена сохраняет значение, потому что обе записи равны по формуле.
В таблице собраны подсказки для разных видов записи. Сначала определи, какие именно выражения возведены в квадрат, а затем проверь знак между ними. После этого подставь их вместо a и b, сохраняя порядок: сначала разность, затем сумма.
| Что дано | Как распознать | Применение формулы | Результат |
|---|---|---|---|
| Разность квадратов чисел | Оба числа — точные квадраты, между ними минус | Записать числа как a² и b² | Например, 49 − 9 = (7 − 3)(7 + 3) |
| Разность квадратов одночленов | Каждый одночлен можно представить как квадрат | Выделить основания квадратов | Например, 25x² − 4y² = (5x − 2y)(5x + 2y) |
| Разность квадратов выражений | Две части имеют вид A² и B² | Подставить вместо a и b целые выражения A и B | A² − B² = (A − B)(A + B) |
| Произведение сопряжённых двучленов | Двучлены отличаются знаком между одинаковыми частями | Использовать формулу в обратном направлении | (a − b)(a + b) = a² − b² |
Нужно представить выражение как произведение двух множителей. Сравним его с a² − b²: число 25 — это 5², а x² уже записано как квадрат. Значит, можно взять a = 5 и b = x.
Порядок множителей не меняет их произведения, но важно сохранить знаки «минус» и «плюс» в сопряжённых скобках. Проверка раскрытием скобок даёт 25 + 5x − 5x − x² = 25 − x². Ответ: (5 − x)(5 + x).
Здесь оба слагаемых содержат переменные, поэтому нельзя считать их основаниями квадратов целиком. Найдём выражения, квадраты которых дают 9x² и 16y²: это 3x и 4y. Получаем разность квадратов одночленов.
В каждом множителе должны стоять те же выражения 3x и 4y, меняется только знак между ними. Если раскрыть скобки, средние члены −12xy и 12xy сократятся, а останется 9x² − 16y². Ответ: (3x − 4y)(3x + 4y).
Сначала посмотрим на произведение в скобках: в обоих двучленах есть 2x и 5, а знак между ними противоположный. Это сопряжённые двучлены, поэтому произведение можно заменить разностью квадратов. После такой замены останется привести подобные слагаемые.
В результате остаётся число −25, так как переменные слагаемые взаимно уничтожились. Это можно проверить, подставив, например, x = 0: исходное выражение тоже равно 5 · (−5), то есть −25. Ответ: −25.
Ошибка: применить формулу к сумме квадратов, например записать x² + 9 = (x − 3)(x + 3). Так делают, потому что видят два квадрата, но забывают проверить знак между ними. Раскрой скобки в предполагаемом ответе: получится x² − 9, а не x² + 9.
Ошибка: записать только один множитель или поставить в обеих скобках одинаковый знак, например (a − b)(a − b). Причина — легко запомнить сами выражения, но упустить, что нужны и разность, и сумма. Проверь раскрытием скобок: только (a − b)(a + b) убирает средние слагаемые и даёт a² − b².
Ошибка: неверно извлечь квадрат, например считать, что 9x² = (9x)². Такое случается, когда ученик извлекает корень только из переменной или забывает проверить коэффициент. Возведи предложенное основание в квадрат: (3x)² = 9x², а (9x)² = 81x².
Ошибка: спутать разность квадратов с квадратом разности. В записи a² − b² нет среднего члена, а при раскрытии (a − b)² получается a² − 2ab + b². Чтобы проверить себя, раскрой скобки в формуле, которую собираешься применить, и сравни все слагаемые с исходной записью.
Для работы с формулой нужно знать, что квадрат числа или одночлена — это произведение выражения на себя. Также пригодятся умножение многочленов и раскрытие скобок: с их помощью формулу можно вывести и проверить. Если уверенно находить квадраты, проще распознавать подходящие выражения.
Формула разности квадратов используется при разложении многочленов на множители и упрощении выражений. В дальнейшем разложение может помочь сократить алгебраическую дробь, если числитель и знаменатель имеют общий множитель. Поэтому полезно не только узнавать формулу, но и проверять, удалось ли разложить всё выражение.
Как понять, что выражение можно разложить по формуле разности квадратов?
Нужно увидеть два слагаемых, между которыми стоит минус, и проверить, что каждое из них является квадратом. Например, 25 − x² подходит: это 5² − x². Сумма квадратов для этой формулы не подходит.
Почему в формуле появляются сумма и разность одних и тех же выражений?
При раскрытии скобок в произведении (a − b)(a + b) получаются a², ab, −ab и −b². Средние слагаемые уничтожают друг друга, поэтому остаётся a² − b².
Можно ли применить формулу к выражению x² + 9?
Нет, между квадратами стоит знак плюс, а формула применяется к их разности. Выражение x² + 9 нельзя представить по этой формуле как произведение (x − 3)(x + 3): такое произведение равно x² − 9.
Как разложить на множители выражение, если под квадратами стоят одночлены?
Сначала представь каждый одночлен как квадрат: например, 9x² = (3x)², а 16y² = (4y)². Затем подставь эти выражения вместо a и b и запиши множители (a − b)(a + b).
Как проверить, что разложение на множители выполнено правильно?
Раскрой скобки в полученном произведении. Если после сокращения средних слагаемых получилось исходное выражение, разложение верное. Например, (a − b)(a + b) даёт a² − b².
§ 21. Формула разности квадратов
