"Алгебра", Алимов Ш.А.
Квадрат суммы и квадрат разности — это произведения выражений в скобках самих на себя. Для них существуют короткие формулы: они помогают раскрывать скобки без долгого перемножения, упрощать выражения и быстрее считать. Главное — не забывать удвоенное произведение в среднем члене и выбирать его знак по знаку между слагаемыми в скобках. Формулы работают и с числами, и с буквами, и со сложными выражениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — произведение суммы двух выражений самой на себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). Буквы a и b обозначают любые числа или выражения. Это определение помогает увидеть, что степень 2 относится ко всей сумме в скобках, а не только к отдельным слагаемым.
Квадрат разности — произведение разности двух выражений самой на себя: (a − b)² = (a − b)(a − b). Здесь степень также относится ко всему выражению в скобках. Такое обозначение удобно, когда нужно заменить повторное умножение короткой записью.
Формула квадрата суммы — правило представления квадрата суммы в виде суммы квадратов с удвоенным произведением: (a + b)² = a² + 2ab + b². В результате видны квадраты обоих выражений и произведение между ними. Формула помогает раскрывать скобки быстрее и не пропустить слагаемые.
Формула квадрата разности — правило представления квадрата разности в виде суммы квадратов с вычитанием удвоенного произведения: (a − b)² = a² − 2ab + b². Квадраты остаются положительными, а знак перед средним членом соответствует знаку разности. С этой формулой удобно упрощать выражения и считать квадраты чисел около круглых десятков.
Чтобы получить формулу квадрата суммы, заменим квадрат произведением двух одинаковых скобок: (a + b)(a + b). По распределительному свойству умножим каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй. Получим a² + ab + ab + b², потому что произведения a на a и b на b дают квадраты. Два одинаковых перекрёстных произведения складываются: ab + ab = 2ab, поэтому результат равен a² + 2ab + b².
Для квадрата разности перемножаем (a − b)(a − b). Сначала получаем a² − ab − ab + b²: каждое перекрёстное произведение отрицательное, поскольку в нём один множитель −b. Их сумма равна −2ab, что и даёт средний член со знаком минус. Последний член положительный, так как (−b)(−b) = b²; поэтому квадраты в результате не становятся отрицательными.
Распознать эти выражения можно по внешнему виду: две части заключены в скобки, а за скобкой стоит степень 2. Знак между частями показывает, какая формула подходит: плюс означает квадрат суммы, минус — квадрат разности. Например, (x + 5)² подходит к первой формуле, а (x − 5)² — ко второй. Если степени 2 снаружи нет, нельзя автоматически считать выражение квадратом суммы или разности.
Вместо a и b могут стоять не только отдельные числа или буквы, но и целые выражения. Например, в (2x + 3)² роль a играет 2x, а роль b — 3, поэтому нужно возвести в квадрат каждую часть и найти удвоенное произведение: (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3². Скобки помогают не потерять части выражения и правильно выполнить возведение в квадрат. Аналогично можно подставлять в формулу дроби, многочлены и другие выражения.
Формулы полезны и для устных вычислений: большое число можно представить как сумму или разность круглого числа и небольшой поправки. Например, 98 — это 100 − 2, а потому 98² можно найти по формуле квадрата разности. Такой способ заменяет перемножение 98 на 98 вычислениями с удобными числами. Он особенно помогает, когда разность с круглым числом невелика и действия легко проверить.
| Вид выражения | Раскрытие скобок | Знак среднего члена | Составные части результата |
|---|---|---|---|
| Квадрат суммы (a + b)² | a² + 2ab + b² | Плюс | Квадрат первого выражения, удвоенное произведение, квадрат второго выражения |
| Квадрат разности (a − b)² | a² − 2ab + b² | Минус | Квадрат первого выражения, вычитаемое удвоенное произведение, квадрат второго выражения |
| Общий способ проверки результата | Перемножить одинаковые скобки или подставить числа | Сверить знак со скобками | Проверить квадраты и удвоенное произведение |
Сначала найдите знак между слагаемыми в скобках, затем выберите строку с нужной формулой. После раскрытия проверьте отдельно первый квадрат, средний член и последний квадрат. Последняя строка таблицы напоминает, как проверить результат, если есть сомнения.
Задача 1. Раскрыть скобки в выражении (x + 5)². Здесь перед нами квадрат суммы, поэтому удобно сравнить выражение со стандартной формой (a + b)². Первой частью является x, второй — 5. Подставим их в формулу, не забывая, что средний член содержит удвоенное произведение.
Ответ: x² + 10x + 25. Удваивать нужно произведение x и 5, а не только число 5. Такая проверка помогает не потерять среднее слагаемое.
Задача 2. Вычислить 98², используя формулу квадрата разности. Число 98 близко к 100, поэтому представим его как 100 − 2. Это выражение подходит к формуле (a − b)², где a = 100, b = 2. Так мы заменим вычисление 98 · 98 более удобными действиями.
Ответ: 9 604. Последнее слагаемое положительное, поскольку в формуле стоит квадрат числа 2. Представление числа как 100 − 2 позволило обойтись без столбика.
Задача 3. Упростить выражение (2x + 3)² − (2x − 3)². В выражении стоят два квадрата: первый — квадрат суммы, второй — квадрат разности. Раскроем каждую скобку по подходящей формуле, сохранив знак минус перед вторым результатом. После этого приведём подобные слагаемые, то есть сложим или вычтем слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Ответ: 24x. Особенно внимательно нужно раскрывать скобки после знака минус: он меняет знаки каждого слагаемого внутри. В конце одинаковые квадраты и числа взаимно уничтожаются.
Иногда записывают (a + b)² = a² + b² и пропускают 2ab. Так происходит, если возвести в квадрат каждое слагаемое отдельно и забыть о перемножении частей из разных скобок. Проверьте себя раскрытием (a + b)(a + b): перекрёстных произведений будет два.
В квадрате разности могут ошибочно сделать отрицательными все слагаемые. Причина — знак минус в скобках начинают переносить на каждый член результата, хотя при умножении (−b)(−b) получается плюс. Проверьте отдельно последнее произведение: оно равно b² и положительно.
Бывает, что путают формулы и ставят перед средним членом знак не по скобкам. Ошибка возникает, когда запоминают формулы без связи с видом выражения. Сверьте знак: в (a + b)² средний член положительный, а в (a − b)² отрицательный.
При возведении в квадрат сложного выражения, например (2x + 3)², иногда получают только 4x² + 9. Так делают, если считают квадрат суммы квадратом каждого слагаемого и забывают их произведение. Проверьте, есть ли в ответе средний член: здесь это 2 · 2x · 3 = 12x.
Для вывода формул нужны распределительное свойство умножения, умножение многочленов и приведение подобных слагаемых. Эти знания позволяют раскрыть две скобки и объединить одинаковые произведения. Позже формулы помогут раскладывать многочлены на множители и преобразовывать алгебраические выражения. Они также встречаются при решении уравнений и неравенств, а в вычислениях позволяют находить квадраты чисел удобным способом.
Почему в квадрате суммы появляется слагаемое 2ab?
При умножении (a + b)(a + b) произведения ab возникают дважды: в первом и во втором перекрёстных слагаемых. Складывая их, получаем ab + ab = 2ab.
Почему в квадрате разности последний член b^2 положительный?
Последний член получается при умножении второго слагаемого на второе: (−b)(−b) = b². Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому b² входит со знаком плюс.
Как быстро понять, какую из двух формул нужно применить?
Посмотрите на знак между слагаемыми внутри скобок и на степень 2 снаружи. Если внутри стоит плюс, используйте формулу квадрата суммы; если минус — формулу квадрата разности.
Можно ли использовать эти формулы, если вместо букв стоят сложные выражения?
Да. Сложные выражения можно считать целыми частями формулы: например, вместо a взять 2x, а вместо b — 3. Главное — возводить в квадрат и умножать именно целые выражения.
Как проверить, что формула применена без ошибки в знаках?
Можно раскрыть скобки обычным умножением и сравнить результат с формулой. Для быстрой проверки также подставьте вместо букв простые числа: значения исходного и полученного выражений должны совпасть.
§ 22. Квадрат суммы. Квадрат разности
