"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Квадрат суммы и квадрат разности — выражения, в которых в квадрат возводится вся сумма или вся разность, а не отдельное слагаемое. Для их раскрытия используют тождества: (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)² = a² − 2ab + b². Главное — не пропустить удвоенное произведение и правильно определить его знак. Формулы помогают быстрее преобразовывать выражения и находить квадраты чисел, близких к круглым.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — выражение вида (a + b)². Числа или выражения a и b складываются, а затем в квадрат возводится результат сложения, то есть вся сумма в скобках. Например, в (x + 4)² квадрат относится и к x, и к 4 вместе. Такое обозначение нужно, чтобы отличать квадрат суммы от суммы квадратов: это разные выражения.
Формула квадрата суммы — тождество (a + b)² = a² + 2ab + b². Тождеством называют равенство, верное при любых допустимых значениях букв. Формула позволяет заменить произведение двух одинаковых скобок многочленом без скобок. При этом обязательно учитывают среднее слагаемое 2ab.
Квадрат разности — выражение вида (a − b)². Здесь в квадрат возводится вся разность a − b, а не только первое слагаемое. Например, выражение (5 − x)² означает произведение (5 − x) на само себя. Это определение помогает правильно расставить слагаемые при раскрытии скобок.
Формула квадрата разности — тождество (a − b)² = a² − 2ab + b². Она заменяет произведение двух одинаковых скобок-разностей выражением без скобок. В нём среднее слагаемое отрицательное, а последнее — положительное. Формула удобна для преобразования выражений и вычислений.
Чтобы вывести формулу квадрата суммы, представим квадрат как произведение одинаковых скобок: (a + b)² = (a + b)(a + b). Раскроем первые скобки по распределительному свойству: умножим a на каждый член второй скобки, а затем b на каждый её член. Получим a² + ab + ba + b². Квадраты a и b появляются при умножении каждого слагаемого на такое же слагаемое.
В середине полученного выражения стоят ab и ba. Перемена порядка множителей не меняет произведение, поэтому ab = ba. Эти два одинаковых слагаемых складываются: ab + ba = 2ab. Так возникает формула (a + b)² = a² + 2ab + b². Коэффициент 2 нельзя пропускать: он учитывает оба смешанных произведения.
Квадрат разности тоже запишем как произведение: (a − b)² = (a − b)(a − b). При раскрытии скобок получаем a² − ab − ba + b². Два средних произведения отрицательны, потому что в каждом из них один множитель равен −b; вместе они дают −2ab. Последний член положителен: произведение (−b)(−b) равно b², поэтому итоговая формула — a² − 2ab + b².
Сравнение формул показывает, что квадраты слагаемых в обоих случаях складываются: это a² и b². Различается только знак среднего члена: плюс у квадрата суммы и минус у квадрата разности. Причина в знаках смешанных произведений, а не в последнем слагаемом. Поэтому при выборе формулы сначала посмотрите на знак между выражениями в скобках.
Формулы позволяют раскрывать скобки в уме или записывать результат сразу, если внимательно определить два слагаемых. Сначала возводят каждое из них в квадрат, затем находят их произведение, умножают его на 2 и ставят нужный знак. Так же можно вычислять квадраты чисел около круглых: представить число, например, как 100 − 1 и применить квадрат разности. Это часто проще, чем умножать число само на себя в столбик.
| Выражение | Формула | Знак среднего члена |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Плюс |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Минус |
Чтобы выбрать строку, найдите скобки и определите, стоит между слагаемыми плюс или минус. Затем возведите оба слагаемых в квадрат и вычислите удвоенное произведение. Таблица также напоминает, что последний член в обеих формулах положительный.
Раскроем скобки в выражении (x + 4)². В роли первого слагаемого выступает x, а второго — 4, поэтому подходит формула квадрата суммы. Важно не ограничиться квадратами слагаемых: между ними должен появиться удвоенный произведённый член. Запишем вычисления последовательно.
Ответ: x² + 8x + 16. Средний член равен 8x, потому что произведение x и 4 удвоили. Если бы мы записали только x² + 16, то пропустили бы два смешанных произведения, возникающих при перемножении скобок.
Теперь раскроем скобки в (3a − 2b)². Здесь слагаемые — целые выражения 3a и 2b, а знак между ними — минус. Значит, применяем формулу квадрата разности и ставим минус перед удвоенным произведением. Каждый коэффициент тоже нужно возвести в квадрат при вычислении квадратов слагаемых.
Ответ: 9a² − 12ab + 4b². Квадраты коэффициентов 3 и 2 равны 9 и 4, а буквенная часть среднего произведения — ab. Последний член положителен, так как квадрат второго слагаемого равен (2b)², а не −(2b)².
Вычислим 99², представив число как 100 − 1. Такой выбор удобен: квадрат 100 и произведение 100 · 1 легко найти. Используем формулу квадрата разности, чтобы заменить вычисление 99 · 99 несколькими простыми действиями. Следим за тем, что знак среднего члена отрицательный.
Ответ: 99² = 9801. Единица в конце появилась из квадрата второго слагаемого, а не из отрицательного числа. Этот приём работает и для других чисел, близких к круглым: их можно представить как круглое число плюс или минус небольшое.
Ошибка: записать (a + b)² = a² + b² и не добавить средний член. Так происходит, когда квадрат суммы принимают за сумму квадратов и забывают раскрыть скобки как произведение. Проверьте себя раскрытием (a + b)(a + b): в результате обязательно появятся ab и ba. Их сумма не равна нулю, поэтому в формуле остаётся 2ab.
Ошибка: написать в среднем члене ab вместо 2ab. При раскрытии скобок появляются два смешанных произведения, а не одно: ab и ba. Чтобы проверить коэффициент, перемножьте скобки по распределительному свойству и посчитайте все слагаемые. Равные произведения складываются, поэтому перед ab должен стоять множитель 2.
Ошибка: сделать последний член формулы квадрата разности отрицательным. Минус перед вторым слагаемым не означает, что его квадрат тоже будет отрицательным: при умножении скобок возникает (−b)(−b). Проверьте знак по правилу умножения: произведение двух отрицательных чисел положительно. Поэтому в конце стоит +b².
Ошибка: возвести в квадрат только первое слагаемое, например считать, что (a + b)² равно a² + b. Причина — невнимание к скобкам и к тому, что показатель 2 относится ко всему выражению в них. Для проверки перепишите квадрат как произведение двух одинаковых скобок. Тогда видно, что умножаются все слагаемые и в ответе должны появиться квадраты обоих слагаемых и средний член.
Для вывода этих формул нужно уметь раскрывать скобки по распределительному свойству и перемножать одночлены — произведения чисел и букв. Если эти действия знакомы, тождества получаются из обычного умножения, а не запоминаются как случайные правила. Формулы применяют при упрощении алгебраических выражений и преобразовании многочленов. Они также относятся к формулам сокращённого умножения, которые будут изучаться дальше.
Почему в формуле появляется множитель 2?
При умножении (a + b) на (a + b) появляются два одинаковых произведения: ab и ba. Так как ab = ba, вместе они дают 2ab.
Почему при возведении разности в квадрат последний член положительный?
Последний член получается при умножении отрицательных слагаемых: (−b)(−b). Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому получается b².
Как не перепутать формулы квадрата суммы и квадрата разности?
Квадраты первого и второго слагаемых в обеих формулах складываются. Смотрите на знак между слагаемыми в скобках: такой же знак стоит у среднего члена 2ab.
Можно ли применять формулы, если перед слагаемыми стоят коэффициенты?
Да. Считайте каждое слагаемое целиком: например, в (3a − 2b)² слагаемые — 3a и 2b. Их квадраты равны 9a² и 4b², а средний член — −12ab.
Как с помощью формулы быстро вычислить квадрат числа, близкого к круглому?
Представьте число как сумму или разность круглого числа и небольшого числа. Например, 99 = 100 − 1, поэтому 99² = 100² − 2 · 100 · 1 + 1² = 9801.
§ 22. Квадрат суммы. Квадрат разности
