Графики линейных функций

Определения и обозначения

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — числа. При каждом выбранном x формула задаёт единственное значение y. Такая запись позволяет описывать ситуации, в которых одна величина меняется равномерно относительно другой.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданной формуле. Для линейной функции точка с координатами (x; y) принадлежит графику, если при подстановке её x получается именно её y. Это определение помогает проверять, верно ли отмечена точка.

Угловой коэффициент — коэффициент k в формуле y = kx + b. Он показывает, как меняется y при изменении x, и задаёт наклон прямой. По знаку k можно понять, идёт ли график вверх или вниз слева направо.

Свободный член — число b в формуле y = kx + b. Он задаёт значение функции при x = 0, потому что слагаемое kx тогда становится нулём. Поэтому b помогает сразу найти место пересечения графика с осью y.

Как это устроено

Чтобы построить график, составляют таблицу: выбирают значения x и вычисляют соответствующие y по формуле. Каждой паре чисел соответствует точка (x; y) на координатной плоскости. Две точки с разными координатами задают единственную прямую, поэтому достаточно вычислить два значения; дополнительные точки можно взять для проверки. Например, для y = 2x + 1 при x = 0 получаем y = 1, а при x = 1 получаем y = 3.

График линейной функции является прямой, потому что при одинаковом изменении x значение y каждый раз меняется одинаково. Например, если x увеличивается на 1, то y увеличивается на k: это следует из формулы y = kx + b. Такая постоянная скорость изменения не даёт графику изгибаться. А через любые две различные точки проходит ровно одна прямая, поэтому найденные точки определяют весь график.

Коэффициент k отвечает за то, в какую сторону наклонена прямая. Если k > 0, при увеличении x значение y увеличивается, поэтому функция возрастает. Если k < 0, значение y уменьшается, и функция убывает. При k = 0 переменная x не влияет на y: формула превращается в y = b, а график становится горизонтальной прямой.

Свободный член b задаёт пересечение с осью y, поскольку любая точка этой оси имеет x = 0. Подстановка в формулу даёт y = k · 0 + b = b, значит, точка пересечения — (0; b). Например, в функции y = 2x − 3 прямая пересекает ось y в точке (0; −3). Это удобная первая точка для построения графика.

По графику коэффициенты можно восстановить, если известны координаты точек прямой. Сначала находят пересечение с осью y: его вторая координата равна b. Затем выбирают две точки и сравнивают изменения координат: k равен изменению y, делённому на изменение x. Например, если при увеличении x на 2 значение y увеличилось на 4, то k = 4 : 2 = 2. Направление изменения также помогает проверить знак коэффициента.

Графики показывают влияние коэффициентов на вид и положение прямой.

Сначала определи, какой коэффициент изменяется: k отвечает за наклон, а b — за положение пересечения с осью y. Затем сравни строки таблицы с формулами или графиками. Если изменилось только b, прямые будут параллельны.

Разбор задач

Задача 1. Постройте график функции y = 2x − 1, составив таблицу для двух удобных значений x. Удобно выбрать небольшие числа, чтобы вычисления были простыми. Для каждого x найдём y, а затем отметим полученные пары на координатной плоскости.

1. Возьмём x = 0. Тогда y = 2 · 0 − 1 = −1, получаем точку (0; −1).
2. Возьмём x = 1. Тогда y = 2 · 1 − 1 = 1, получаем точку (1; 1).
3. Отметим эти две точки и проведём через них прямую. Коэффициент k = 2 положительный, поэтому прямая должна подниматься слева направо.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; −1) и (1; 1).
Задача 2. Не строя графики полностью, определите, где графики y = 3x + 2 и y = 3x − 1 пересекут ось y, и сравните их наклон. Чтобы найти пересечение, достаточно посмотреть на свободные члены. Для сравнения наклона сопоставим угловые коэффициенты.

1. В первой формуле b = 2, значит, точка пересечения с осью y — (0; 2).
2. Во второй формуле b = −1, поэтому точка пересечения — (0; −1).
3. У обеих функций k = 3. Следовательно, прямые имеют одинаковый наклон и параллельны; вторая расположена ниже первой.

Ответ: точки пересечения — (0; 2) и (0; −1); наклон одинаковый.
Задача 3. Прямая проходит через точки (0; 4) и (2; 0). Запишите формулу линейной функции, графиком которой она является. В формуле y = kx + b сначала найдём b по точке, у которой x равен нулю, а затем вычислим k по изменению координат.

1. Точка (0; 4) показывает, что при x = 0 значение y равно 4. Значит, b = 4.
2. При переходе от (0; 4) к (2; 0) x увеличился на 2, а y уменьшился на 4. Поэтому k = (0 − 4) : (2 − 0) = −2.
3. Подставим найденные коэффициенты в общий вид: y = −2x + 4. Проверим по второй точке: при x = 2 получаем y = 0.

Ответ: y = −2x + 4.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что для построения прямой достаточно одной точки. Через одну точку можно провести сколько угодно прямых, поэтому график не определяется однозначно. Обычно так ошибаются, потому что забывают, что формула задаёт не отдельную точку, а целую прямую. Проверь себя: найди второе значение x и отметь ещё одну точку.

Ошибка: путать коэффициенты k и b. Тогда можно неверно определить наклон или точку пересечения с осью y; путаница возникает из-за того, что оба числа стоят в одной формуле. Запомни: k умножается на x, а b прибавляется отдельно. Проверка: при x = 0 должно получиться y = b.

Ошибка: неверно вычислять координаты точки при составлении таблицы. Например, подставлять выбранное x вместо y или терять знак минус в выражении. Такое происходит, когда вычисления делают слишком быстро и не записывают подстановку. Проверяй запись по шагам: укажи x, подставь его в формулу и отдельно вычисли y.

Ошибка: соединять точки ломаной или оставлять на чертеже только две отдельные отметки. Точки находят лишь для построения, а график линейной функции состоит из непрерывной прямой. Ломаная появляется, когда каждую пару точек соединяют по очереди, не замечая, что все они лежат на одной прямой. Проведи линейку через точки и продолжи прямую в обе стороны.

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости и вычислять значения выражений при заданном x. Линейная функция связана с прямой пропорциональностью: y = kx получается из y = kx + b при b = 0, поэтому её график проходит через начало координат. Графики линейных функций пригодятся при решении систем уравнений: точка пересечения двух прямых соответствует решению обеих формул. Они также описывают задачи, где величины связаны линейной зависимостью.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно найти две точки графика.
• При x = 0 значение функции равно b.
• Знак k определяет, возрастает или убывает функция.
• При b = 0 график проходит через начало координат.