"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Уравнения и неравенства с двумя переменными можно изображать на координатной плоскости. Каждая точка задаётся парой чисел (x; y), а условие на эти числа определяет, какие точки нужно отметить. Для уравнения график состоит из всех его решений, а для неравенства обычно получается область по одну сторону от прямой. Такие изображения помогают увидеть сразу множество решений и понять, как связаны алгебраические условия и геометрические фигуры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями: горизонтальной x и вертикальной y. Положение точки задают два числа, записанные в порядке (x; y): первое показывает абсциссу, второе — ординату. По абсциссе определяют, насколько точка смещена вправо или влево от оси y, а по ординате — вверх или вниз от оси x.
Множество точек — это совокупность точек, координаты которых удовлетворяют одному и тому же заданному условию. Условием может быть, например, равенство x = 2 или неравенство y > 1. Такое описание позволяет объединить множество точек общим свойством, а не перечислять их по одной.
График уравнения с двумя переменными — множество всех точек, координаты которых обращают это уравнение в верное равенство. Например, если пара чисел (x; y) после подстановки удовлетворяет равенству 3x + y = 5, соответствующая точка лежит на графике. График показывает на плоскости все решения уравнения.
Графическое изображение неравенства — область точек, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Для линейного неравенства границей области служит прямая, а сама область обычно находится по одну её сторону. В зависимости от знака неравенства граничная прямая либо включается в множество решений, либо исключается.
Чтобы из условия на координаты получить множество точек, сначала проверяют несколько пар чисел. Для каждой пары подставляют первое число вместо x, второе — вместо y, а затем решают, верно ли условие. Подходящие пары отмечают на плоскости; если условию удовлетворяет не одна и не несколько точек, а целая линия или область, проверка помогает заметить её расположение.
Графиком уравнения служат все и только те точки, чьи координаты являются его решениями. Слово «все» означает, что нельзя ограничиться несколькими найденными парами: график должен содержать каждую подходящую точку. Слово «только» исключает точки, для которых после подстановки равенство неверно. Поэтому принадлежность графику всегда определяется проверкой координат в самом уравнении.
Линейное уравнение ax + by = c задаёт прямую, если коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Например, уравнение x = a требует, чтобы абсцисса каждой подходящей точки была одной и той же, поэтому получается вертикальная прямая. Уравнение y = b фиксирует ординату и задаёт горизонтальную прямую. Для проверки точки на такой прямой достаточно подставить её координаты: если равенство выполняется, точка лежит на прямой.
Линейное неравенство получается, когда в условии вместо равенства стоит знак сравнения, например ax + by < c. Равенство ax + by = c задаёт границу: по разные стороны от неё выражение принимает значения, которые оказываются по разные стороны числа c. Поэтому выбирают одну полуплоскость, проверив любую удобную точку вне прямой. Если знак неравенства нестрогий, ≤ или ≥, точки границы подходят; при строгих знаках < или > они не входят.
Вид условия часто подсказывает форму множества ещё до построения. Например, равенство расстояний точки от двух координатных осей записывается как |x| = |y|: оно выполняется на прямых y = x и y = −x. Если ограничена только одна координата, например x ≥ 2, то подходят точки справа от вертикальной прямой x = 2, включая саму прямую. Модуль здесь показывает расстояние до оси, поэтому учитывается и положительное, и отрицательное значение координаты.
| Условие на координаты | Множество точек | Как проверить принадлежность точки |
|---|---|---|
| x = a | Вертикальная прямая | Сравнить абсциссу точки с a |
| y = b | Горизонтальная прямая | Сравнить ординату точки с b |
| ax + by = c | Прямая | Подставить x и y, проверить равенство |
| ax + by < c или ax + by > c | Полуплоскость без границы | Подставить координаты и проверить неравенство |
| Условие с модулями координат | Линии или области, определяемые условием | Вычислить модули координат и проверить условие |
Сначала определите, что именно фиксирует условие: одну координату или связь между x и y. Затем проверьте координаты точки способом из последнего столбца. Для неравенства отдельно учитывайте, допускает ли его знак равенство на границе.
Определить, принадлежит ли точка A(2; −1) графику уравнения 3x + y = 5. Для этого нужно проверить, образуют ли её координаты решение уравнения. Помним, что число 2 — это x, а −1 — это y.
Ответ: точка A(2; −1) принадлежит графику уравнения.
Изобразить множество точек, для которых x = −2 или y = 3. Союз «или» означает, что подходит точка, удовлетворяющая хотя бы одному из условий. Поэтому каждое условие нужно изобразить отдельно, а затем оставить обе полученные линии.
Ответ: две прямые x = −2 и y = 3.
Изобразить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 2x − y ≤ 4. Сначала найдём границу, заменив знак ≤ знаком равенства. Затем определим нужную сторону прямой по пробной точке и решим, включать ли саму границу.
Ответ: полуплоскость со стороны точки (0; 0), вместе с прямой 2x − y = 4.
Считать графиком уравнения только несколько найденных решений — значит забыть, что график содержит все подходящие точки. Ошибка возникает, когда построение начинают с пары примеров и останавливаются на них. Проверьте себя: спросите, описана ли вся линия или область, а не только отмеченные точки.
При подстановке иногда меняют местами координаты: абсцисса соответствует x, а ордината — y. Это происходит из-за того, что числа в паре легко прочитать в обратном порядке. Чтобы проверить себя, подпишите координаты так: A(x; y), а затем подставляйте их по очереди в выражение.
Выбирать полуплоскость наугад — ненадёжный способ, потому что нужная сторона зависит от знака неравенства и расположения прямой. Ошибку помогает обнаружить пробная точка, не лежащая на границе. Подставьте её координаты в исходное неравенство: если оно верно, выбранная сторона подходит.
Если провести границу одинаково для всех знаков, можно ошибиться с тем, входит ли она в множество. Причина в том, что строгие и нестрогие неравенства по-разному относятся к равенству. При ≤ или ≥ прямая включается, а при < или > исключается; проверьте это, подставив координаты точки с самой границы.
Для работы с множествами точек нужно уметь отмечать точку по координатам и находить координаты уже отмеченной точки. При подстановке пригодятся навыки вычисления значений выражений, решения линейных уравнений и сравнения чисел. Эти действия позволяют проверять, удовлетворяет ли пара чисел заданному условию. Позже такое представление пригодится при изучении графиков функций и систем уравнений и неравенств.
Что называют множеством точек на координатной плоскости?
Это совокупность точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию. Например, условие x = 2 выполняется у всех точек с абсциссой 2, поэтому они образуют вертикальную прямую.
Как проверить, принадлежит ли точка графику уравнения?
Нужно подставить абсциссу точки вместо x, а ординату — вместо y. Если после подстановки получается верное равенство, точка принадлежит графику.
Почему графиком линейного уравнения является прямая?
У линейного уравнения ax + by = c решениями являются пары чисел, которые удовлетворяют одному линейному условию. При построении такие пары располагаются на одной прямой, если a и b не равны нулю одновременно.
Как понять, какую полуплоскость выбрать для неравенства?
Сначала проводят граничную прямую, заменив знак неравенства знаком равенства. Затем подставляют координаты точки, не лежащей на прямой: если условие верно, выбирают сторону с этой точкой, если нет — противоположную.
Когда граничная прямая входит в множество решений неравенства?
Граница входит в множество решений при знаках ≤ и ≥, потому что равенство тоже допускается. При знаках < и > точки прямой не подходят, поэтому границу не включают.
Множества точек на координатной плоскости
