"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Расстояние между двумя точками на координатной прямой — это длина отрезка между ними. Оно показывает, насколько точки удалены друг от друга, и всегда неотрицательно. Чтобы найти расстояние по координатам a и b, вычисляют модуль их разности: |a − b|. Если точки расположены по разные стороны от нуля, можно сложить модули координат. Понимание этого правила помогает решать задачи с положительными и отрицательными числами и не путать координату с расстоянием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координата точки на координатной прямой — число, которое показывает её положение относительно начала отсчёта. Например, точка с координатой 3 находится справа от нуля, а точка с координатой −3 — слева. Координата помогает описать положение точки числом и сравнивать его с положением других точек.
Расстояние между точками на координатной прямой — длина отрезка, соединяющего эти точки. Длина не может быть отрицательной, даже если одна или обе координаты отрицательны. Расстояние показывает, насколько точки удалены друг от друга, а не в какую сторону нужно двигаться.
Модуль разности координат — неотрицательное значение разности, которое используют для вычисления расстояния между точками. Если координаты обозначены a и b, это значение записывают как |a − b|. Модуль нужен, чтобы результат оставался расстоянием, даже если при вычитании получилось отрицательное число.
Пусть точки имеют координаты a и b. Разность координат показывает, на сколько единичных отрезков они отстоят по числовому счёту, но её знак зависит от порядка вычитания. Например, если из меньшей координаты вычесть большую, получится отрицательное число. Так как расстояние — длина отрезка, а длина неотрицательна, берут модуль разности: расстояние равно |a − b|.
Если обе координаты расположены в порядке возрастания, проще сначала определить, какая из них больше. Затем из большей координаты вычитают меньшую: полученный результат уже неотрицателен. Это работает и для отрицательных чисел: например, −1 больше, чем −6, поэтому расстояние между ними находят как −1 − (−6). Вычитание отрицательного числа превращается в сложение.
Когда точки находятся по разные стороны от начала отсчёта, отрезок между ними проходит через ноль. Чтобы пройти его, нужно преодолеть расстояние от первой точки до нуля, а затем от нуля до второй. Эти части равны модулям координат, поэтому расстояние можно найти их суммой. Например, от −4 до 5 нужно пройти 4 единичных отрезка до нуля и ещё 5 после него.
Формула |a − b| работает при любом порядке координат, потому что модуль убирает знак результата. Если a больше b, разность a − b положительна; если b больше a, она отрицательна. В обоих случаях модуль даёт одну и ту же длину отрезка. Поэтому менять местами координаты можно, если затем взять модуль разности.
Проверить вычисление помогает координатная прямая. Отметьте обе точки и посчитайте единичные отрезки между ними, не считая направление движения. Результат должен быть неотрицательным и совпадать с этим числом отрезков. Если получено отрицательное число или длина не соответствует рисунку, проверьте вычитание и знаки координат.
В таблице собраны удобные способы вычисления для разных расположений точек. Во всех случаях можно использовать общую формулу |a − b|, а подходящий способ помогает быстрее выполнить расчёт. Если сомневаетесь, отметьте координаты на прямой и проверьте число единичных отрезков.
| Расположение точек | Координаты | Как найти расстояние | Пример |
|---|---|---|---|
| Обе точки имеют неотрицательные координаты | 0 ≤ a ≤ b | Из большей координаты вычесть меньшую: b − a | 2 и 7: 7 − 2 = 5 |
| Обе точки имеют неположительные координаты | a ≤ b ≤ 0 | Из большей координаты вычесть меньшую: b − a | −6 и −1: −1 − (−6) = 5 |
| Точки находятся по разные стороны от начала отсчёта | a < 0 < b | Сложить модули координат: |a| + |b| | −4 и 5: 4 + 5 = 9 |
| Одна из точек совпадает с началом отсчёта | 0 и a | Взять модуль ненулевой координаты: |a| | 0 и −3: |−3| = 3 |
Задача 1. Найдите расстояние между точками A(2) и B(7). Обе координаты неотрицательные, поэтому точки находятся справа от начала отсчёта. Сравним координаты: 7 больше 2, значит, можно вычесть меньшую из большей.
Ответ: расстояние между A и B равно 5.
Задача 2. Найдите расстояние между точками C(−6) и D(−1). Обе координаты отрицательные, но −1 больше, чем −6: на прямой он расположен правее. Поэтому вычитаем из большей координаты меньшую, внимательно учитывая скобки при вычитании отрицательного числа.
Ответ: расстояние между C и D равно 5.
Задача 3. Точки E(−4) и F(5) отмечены на координатной прямой. Найдите расстояние между ними двумя способами. Точки расположены по разные стороны от нуля, поэтому отрезок между ними состоит из частей по обе стороны от начала отсчёта.
Ответ: расстояние между E и F равно 9.
Иногда при вычитании координат получают отрицательное число и записывают его как расстояние. Так случается, если вычитают в неудобном порядке и забывают о модуле. Проверьте знак: расстояние не может быть меньше нуля, поэтому вычислите |a − b| или вычтите меньшую координату из большей.
Для точек по разные стороны от нуля могут вычесть модули координат вместо того, чтобы сложить их. Ошибка возникает, если смотреть только на числа без учёта того, что отрезок проходит через начало отсчёта. Проверьте вычисление по пути через ноль: нужно пройти обе части отрезка, значит, длины частей складываются.
Координату точки иногда принимают за расстояние от неё до начала отсчёта. Но координата может быть отрицательной, потому что указывает положение слева от нуля, тогда как расстояние отрицательным не бывает. Чтобы проверить себя, найдите модуль координаты: расстояние до начала отсчёта равно |a|.
Ещё одна ошибка — принять разность координат за расстояние, не проверив её знак. Знак разности зависит от порядка вычитания, а длина отрезка от порядка не зависит. Перед ответом проверьте, что взяли модуль разности и что результат неотрицателен; при необходимости сосчитайте единичные отрезки на прямой.
Для работы с расстояниями нужно уметь отмечать числа на координатной прямой, сравнивать положительные и отрицательные числа и находить модуль. Эти навыки помогают понять, где расположены точки и почему расстояние не зависит от направления вычитания. Позже правило пригодится в уравнениях и задачах на числовые промежутки, а также при изучении координат на плоскости. Там тоже важно различать положение точки и расстояние между точками.
Почему расстояние между точками не может быть отрицательным?
Расстояние — это длина отрезка, а длина не бывает меньше нуля. Поэтому при вычислении берут модуль разности координат.
Как найти расстояние между двумя отрицательными числами?
Сравните координаты и вычтите меньшую из большей. Например, между −6 и −1 расстояние равно −1 − (−6) = 5.
Почему для точек по разные стороны от нуля модули координат складывают?
Чтобы пройти от одной такой точки до другой, нужно сначала дойти до нуля, а затем двигаться от нуля к второй точке. Эти два отрезка имеют длины, равные модулям координат, поэтому их складывают.
Нужно ли учитывать порядок координат при вычислении расстояния?
Нет, если после вычитания взять модуль. |a − b| и |b − a| равны, поэтому результат не зависит от порядка.
Чему равно расстояние от точки до начала отсчёта?
Оно равно модулю координаты точки. Например, точка с координатой −4 находится от начала отсчёта на расстоянии 4.
Расстояние между точками на координатной прямой
