"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
График зависимости наглядно показывает, как одна величина меняется вместе с другой, например как температура меняется со временем. По горизонтальной и вертикальной осям можно найти значения, сравнить их и увидеть промежутки возрастания, убывания или постоянства. Графики помогают быстрее разобраться в наблюдениях и данных, чем длинный список чисел. Но точность чтения зависит от масштаба, а значения между данными иногда приходится только оценивать.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График зависимости — способ показать, как изменение одной величины связано с изменением другой. Например, график может показывать температуру воздуха в разные часы. Он нужен, чтобы сразу увидеть общую картину изменения, а не сравнивать по очереди много чисел.
Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными числовыми осями, на которой изображают графики. Горизонтальную ось обычно называют осью x, а вертикальную — осью y. Оси помогают точно указывать, каким значениям соответствуют точки и линия графика.
Координаты точки — числа, задающие её положение на плоскости: первое указывает положение по горизонтали, второе — по вертикали. Запись (3; 8) означает, что точка находится на расстоянии трёх единиц по горизонтали и восьми по вертикали от начала отсчёта. Такой порядок нужен, чтобы однозначно найти точку и связать её с данными задачи.
График изменения величины — изображение того, как величина меняется со временем или при изменении другой величины. Например, так показывают изменение уровня воды при наполнении бака. По такому изображению можно выяснить не только отдельные значения, но и то, что происходило между ними.
График помогает быстрее понять изменение величины, потому что расположение точек и направление линии видны сразу. В длинном списке чисел пришлось бы сравнивать каждое значение с предыдущим, а описание словами может не показать, когда именно произошёл подъём или спад. На графике можно заметить общую тенденцию и сравнить разные моменты одним взглядом. Поэтому он особенно удобен, когда данных много.
Каждая точка графика связывает два значения: аргумент и зависимую от него величину. Аргумент — это значение, от которого зависит другая величина; например, время может быть аргументом, а температура — зависимой величиной. Если точка имеет координаты (6; 14), это может означать, что в шестой час температура равнялась 14 °C. Такая связь и составляет смысл графика зависимости.
Чтобы прочитать точку, сначала находят её положение по горизонтали, а затем по вертикали. Горизонтальная координата указывает аргумент, вертикальная — соответствующее ему значение зависимой величины. Подписи осей и единицы измерения помогают перевести числа в смысл задачи: например, не просто 6 и 14, а 6 часов и 14 °C. Если перепутать оси, получится ответ не на тот вопрос.
Изменение линии слева направо показывает, как меняется зависимая величина при увеличении аргумента. Если линия поднимается, значение возрастает; если опускается — убывает; если идёт горизонтально — остаётся постоянным. Это связано с тем, что аргумент при чтении увеличивается слева направо, а высота точки показывает значение величины. Так можно определить не только направление изменения, но и промежутки, на которых оно происходило.
График обычно строят по данным наблюдений или вычислений: каждое измерение задаёт точку с двумя координатами. Между отдельными точками линию проводят, чтобы удобнее увидеть общую картину, но это не всегда означает, что все промежуточные значения измерены. Если температуру проверяли только в определённые часы, её значение между проверками можно оценить по линии, но нельзя автоматически считать точным. Поэтому нужно отличать измеренные данные от приблизительного чтения графика.
| Что выясняем | Как найти на графике | Что означает в ситуации |
|---|---|---|
| Значение величины при заданном аргументе | От аргумента на горизонтальной оси дойти до графика и прочитать вертикальную координату | Какой была зависимая величина в заданный момент или при заданном условии |
| Аргумент, при котором величина принимает заданное значение | Найти значение на вертикальной оси, дойти до графика и прочитать горизонтальную координату | Когда или при каком условии величина достигла нужного значения |
| Промежуток возрастания | Найти участок, который поднимается слева направо | Величина увеличивалась в течение этого промежутка |
| Промежуток убывания | Найти участок, который опускается слева направо | Величина уменьшалась в течение этого промежутка |
| Промежуток постоянства | Найти горизонтальный участок | Величина не менялась в течение этого промежутка |
Сначала прочитай подписи осей и проверь масштаб делений, а затем выбери строку таблицы, соответствующую вопросу. При поиске значения двигайся от известной координаты к линии и только потом считывай неизвестную координату. Найденный промежуток обязательно назови в единицах и терминах самой задачи.
Задача 1. На графике температуры воздуха по часам найдите температуру в 12 часов. В данном графике на горизонтальной оси отмечено время, а на вертикальной — температура. Нужно от заданного времени перейти к линии и определить соответствующую высоту точки.
Ответ: 15 °C. Сначала мы использовали время как аргумент, а затем прочитали зависимую от него температуру. Если масштаб не позволяет точно определить положение точки, ответ следует считывать с той точностью, которую допускают деления.
Задача 2. По графику движения определите, в какой момент расстояние от дома составило 6 км. Здесь расстояние зависит от времени, поэтому заданное значение 6 км нужно искать на вертикальной оси. Время, соответствующее этому расстоянию, будет горизонтальной координатой точки графика.
Ответ: момент или моменты времени, считанные по горизонтальной оси в точках пересечения. Числовое значение зависит от конкретного графика движения. Если пересечение пришлось между делениями, результат можно указать приблизительно, если условия задачи не дают более точных данных.
Задача 3. По графику наполнения бака установите, в какие промежутки уровень воды повышался, не менялся и снижался. По горизонтальной оси такого графика обычно отложено время, а по вертикальной — уровень воды. Поэтому важно описать каждый найденный участок не только направлением, но и тем, что происходило с водой.
Ответ: промежутки повышения, постоянства и снижения уровня определяют по соответствующим участкам графика. Их конкретные границы нужно прочитать по шкале времени на данном графике. Такой способ показывает, как направление линии переводится в описание ситуации.
Для чтения графиков нужно уметь работать с числовой осью, координатной плоскостью и масштабом. Эти знания помогают правильно находить точки и понимать, каким числам соответствуют деления. Если координаты и оси прочитаны верно, график можно связать с описанием реальной ситуации.
Графики пригодятся при изучении функций и зависимостей величин, а также при решении практических задач. С их помощью описывают движение, изменение температуры, расход материалов или наполнение ёмкости. Навык читать графики помогает извлекать информацию из данных, а не только выполнять вычисления.
Что именно показывает график зависимости?
Он показывает, как значение одной величины связано со значением другой. Например, по графику температуры можно увидеть, как менялась температура с течением времени.
Как понять, какая величина отложена на каждой оси?
Посмотри на подписи и единицы измерения у осей. Обычно по горизонтали откладывают аргумент, например время, а по вертикали — зависимую величину, например температуру.
Как найти значение величины при заданном времени?
Найди время на горизонтальной оси и проведи мысленно линию вверх или вниз до графика. Затем от точки пересечения прочитай значение по вертикальной оси.
Как по графику определить, когда величина возрастала?
Следи за линией слева направо. Если она поднимается, значение величины возрастает; если опускается — убывает.
Можно ли считать точными значения между отмеченными точками?
Не всегда: точки могли быть получены только в отдельные моменты наблюдений. Значение между ними можно оценить по линии графика, но оно не обязательно известно точно.
Графики вокруг нас
