Решение упражнений по теме: Графики

Определения и обозначения

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых соответствуют значениям аргумента и функции. Аргумент обычно обозначают x, а значение функции — y. График нужен, чтобы наглядно видеть зависимость величин и считывать значения без вычисления формулы.

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями: горизонтальной x и вертикальной y. Каждой точке сопоставляют пару чисел (x; y), где первое число показывает положение по горизонтали, а второе — по вертикали. Это позволяет точно указывать положение точки и читать координаты графика.

Нуль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. На графике ему соответствует точка пересечения графика с осью x, поскольку у каждой точки этой оси ордината равна нулю. Нули помогают понять, при каких аргументах функция обращается в ноль.

Точка пересечения графиков — точка, принадлежащая одновременно двум графикам. В ней графики имеют одинаковые координаты, а значит, значения соответствующих функций при одной и той же абсциссе равны. Поэтому абсциссы таких точек позволяют найти решения уравнения f(x) = g(x).

Как это устроено

Чтобы определить значение функции по графику, сначала находят аргумент на горизонтальной оси. От этой отметки мысленно проводят вертикаль до графика: у найденной точки абсцисса уже известна, а ордината показывает значение функции. Такой порядок нужен потому, что аргумент задаёт, где искать точку, а график связывает его с соответствующим y.

При чтении графика важно не перепутать горизонтальную координату x и вертикальную координату y. Они отвечают за разные величины: x показывает, при каком условии рассматривают функцию, а y — какой результат ему соответствует. Если требуется найти аргумент по известному значению функции, начинают с оси y, идут горизонтально к графику, затем считывают x. Направление поиска меняется вместе с тем, какая величина уже известна.

Нуль функции ищут там, где график встречается с осью x. Причина в том, что на всей этой оси значение y равно нулю, а нулём функции называют именно аргумент, при котором y = 0. Поэтому ответом служит не высота точки, а её горизонтальная координата. Проверка проста: найденная точка должна лежать и на графике, и на оси x.

Для решения уравнения f(x) = g(x) сравнивают два графика, потому что равенство означает совпадение значений функций при одном и том же x. В точке пересечения у графиков общая координата y, следовательно, значения функций равны. Уравнение решают, выписывая абсциссы всех точек пересечения. Ординаты этих точек в ответ не входят, так как вопрос относится к значениям x.

Чтобы построить график по заданным точкам, сперва выбирают масштаб: например, решают, сколько единиц будет соответствовать одному делению. Затем каждую пару чисел (x; y) отмечают на плоскости, двигаясь по горизонтали и вертикали, и проверяют расположение точки. Соединять точки следует только тогда, когда это подходит к характеру зависимости: для непрерывного изменения величины обычно проводят линию, а для отдельных значений точки могут оставаться раздельными.

Приёмы решения задач по графикам

Таблица помогает сначала определить, какую величину требуется найти, а затем выбрать нужное место на графике и правильно оформить ответ. Перед чтением проверь подписи осей и масштаб: одна клетка на разных осях может обозначать разные числа. Если по рисунку нельзя получить точное значение, ответ записывают приближённо.

Разбор задач

Задача 1. По графику зависимости температуры от времени определить температуру в указанный момент. Сам график в условии задаёт значения, поэтому сначала нужно найти на горизонтальной оси именно указанное время. Ответ будет координатой по вертикальной оси, а не числом, с которого началось движение по графику.

1. Найди на горизонтальной оси подпись и отметку, соответствующие заданному моменту времени.
2. Проследи от этой отметки вертикально до графика температуры.
3. От найденной точки определи её ординату по вертикальной оси, считая деления согласно масштабу.
4. Запиши число вместе с единицей измерения температуры, если она указана.

Ответ: температура в заданный момент равна считанной ординате. Если точка расположена между делениями и точное значение не обозначено, результат следует считать приближённым. Масштаб обеих осей нужно проверить до считывания, иначе даже правильное направление поиска даст неверное число.

Задача 2. По графику функции найти все значения x, при которых f(x) = 0. Здесь не требуется искать точки, где график выше или ниже оси, а нужно установить, при каких аргументах он принимает нулевое значение. Значит, удобнее всего начать с оси, где ордината равна нулю.

1. Найди горизонтальную ось x: на ней расположены точки с y = 0.
2. Отметь все места, где график функции пересекает эту ось.
3. Для каждой точки пересечения прочитай координату x по горизонтальной оси.
4. Запиши найденные абсциссы; если пересечений нет, нулей на показанном участке нет.

Ответ: все значения x, считанные в точках пересечения графика с осью x. Ордината каждой такой точки равна нулю по определению оси, поэтому записывать её вместо x было бы ошибкой. Проверь, не пропущено ли пересечение на другом участке графика.

Задача 3. На одном чертеже изображены графики y = f(x) и y = g(x). Нужно найти решения уравнения f(x) = g(x). Равенство выполняется там, где при одном аргументе обе функции дают один и тот же результат, то есть где графики имеют общую точку.

1. Найди на чертеже все точки, в которых один график пересекается с другим.
2. Для каждой общей точки определи абсциссу, пользуясь горизонтальной осью и её масштабом.
3. Собери найденные абсциссы в ответ, не записывая ординаты точек пересечения.
4. Если графики совпадают на некотором промежутке, равенство выполняется для всех x этого промежутка.

Ответ: абсциссы всех точек пересечения графиков. Это и есть значения аргумента, при которых f(x) и g(x) равны. Если точка находится между делениями, решение по рисунку может быть приближённым.

Типичные ошибки

Путать аргумент и значение функции легко, если сразу смотреть на точку, не проверяя подписи осей. В результате вместо x считывают y или наоборот. Сначала найди, какая величина дана, и определи соответствующую ось; затем двигайся к графику в нужном направлении. Для проверки вспомни, что x расположен по горизонтали, а y — по вертикали.

Иногда за нуль функции принимают ординату точки или любую точку, где график близок к оси. Ошибка возникает из-за того, что название «нуль» принимают за значение y, хотя нулём называют аргумент, при котором y = 0. Проверь, что график действительно пересекает ось x, и запиши абсциссу этой точки.

При считывании координат можно пропустить деление или неверно посчитать шаги между числами на оси. Причина обычно в том, что предполагают: одна клетка всегда равна единице. До поиска значения определи цену деления каждой оси по подписанным числам и учитывай её при отсчёте. Сверь ответ с соседними отметками, чтобы заметить слишком большое или маленькое число.

Решая уравнение по двум графикам, иногда записывают обе координаты пересечения. Это происходит, когда забывают, что неизвестным в f(x) = g(x) является аргумент x, а y лишь показывает общее значение функций. Оставь в ответе только абсциссы точек пересечения. Проверка: каждое записанное число должно указывать на место, где графики имеют общую точку.

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужно уметь отмечать точки по координатам и считывать координаты уже отмеченных точек. Эти навыки связывают тему с координатной плоскостью и изучением зависимостей между величинами. Графики помогают описывать изменения температуры, расстояния и других величин в физике и естественных науках. Графическое решение уравнений пригодится при дальнейшем изучении функций и систем уравнений.

Что запомнить

• На графике аргумент откладывают по горизонтальной оси, значение функции — по вертикальной.
• Чтобы найти f(a), нужно определить ординату точки графика с абсциссой a.
• Нули функции — абсциссы точек пересечения её графика с осью x.
• Решения уравнения f(x) = g(x) — абсциссы точек пересечения графиков.
• При чтении графика обязательно учитывают масштаб и подписи осей.
• Ответ по графику может быть приближённым, если точное значение нельзя определить по делениям.