"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Степень позволяет коротко записать произведение одинаковых множителей, а правила действий со степенями помогают упростить длинные выражения. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении — вычитают, а основание сохраняют. Для деления основание должно быть ненулевым, а при натуральных показателях показатель делимого не меньше показателя делителя. Эти правила работают только тогда, когда основания одинаковы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень числа — произведение нескольких одинаковых множителей. Например, 4³ = 4 · 4 · 4, то есть число 4 повторяется три раза. Такая запись помогает коротко обозначить произведение и увидеть, сколько одинаковых множителей в нём участвует.
Произведение степеней с одинаковым основанием — выражение вида aᵐ · aⁿ. Его можно заменить степенью с тем же основанием, сложив показатели: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Это правило позволяет упрощать выражения, в которых одно и то же число умножается само на себя много раз.
Частное степеней с одинаковым основанием — выражение вида aᵐ : aⁿ, которое при ненулевом основании можно заменить степенью с тем же основанием. Если m ≥ n, действует правило aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Оно помогает сократить одинаковые множители сверху и снизу дроби или в записи деления.
Показатель степени — натуральное число, показывающее число одинаковых множителей в записи степени. В выражении a⁵ показатель равен 5, а основание — a. Показатель нужен, чтобы не записывать все множители по отдельности и правильно выполнять действия со степенями.
При умножении степеней с одинаковым основанием группы множителей можно записать подряд. Например, aᵐ содержит m множителей a, а aⁿ — ещё n таких же множителей. Всего получается m + n множителей, поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; основание при этом не меняется.
При делении степеней одинаковые множители числителя и знаменателя сокращаются попарно. В aᵐ : aⁿ, если m ≥ n, из m множителей в числителе убираются n множителей, совпадающих с множителями знаменателя. Остаётся m − n множителей a, поэтому результат равен aᵐ⁻ⁿ. Условие m ≥ n нужно для того, чтобы после сокращения осталось целое число множителей, а не возникла степень с отрицательным показателем.
Основание при делении должно быть ненулевым. Если a = 0 и показатель натуральный, то aⁿ = 0, поэтому знаменатель частного окажется равен нулю. Делить на ноль нельзя, значит, формулу частного применяют только при a ≠ 0.
Если показатели равны, сокращаются все множители. Например, при a ≠ 0 частное aᵐ : aᵐ равно 1: числитель и знаменатель — одно и то же ненулевое число. То же следует из правила разности показателей: aᵐ⁻ᵐ = a⁰, но для этого вывода о нулевом показателе понадобится отдельное правило.
Оба правила требуют одинаковых оснований, потому что объединять или сокращать можно только одинаковые множители. В произведении aᵐ · bⁿ при a ≠ b множители различаются, и показатель не показывает общее число повторений одного числа. Поэтому нельзя сложить показатели и записать такое выражение как (ab)ᵐ⁺ⁿ.
| Действие | Правило | Условия | Пример |
|---|---|---|---|
| Умножение степеней | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Основания одинаковые; показатели натуральные | 2³ · 2² = 2⁵ |
| Деление степеней при большем показателе делимого | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0, m ≥ n | 3⁵ : 3² = 3³ |
| Деление степеней с равными показателями | aᵐ : aᵐ = 1 | a ≠ 0 | 4³ : 4³ = 1 |
Сначала проверьте, одинаковы ли основания, затем выберите строку по действию и условиям. Для деления убедитесь, что основание не равно нулю и показатель делимого не меньше показателя делителя. После преобразования, если требуется, вычислите полученную степень.
Задача 1. Упростите выражение 3⁴ · 3². Основания одинаковые — в обеих степенях повторяется число 3, поэтому можно объединить множители. Показатели складываем, а основание оставляем без изменения.
Ответ: 3⁶, или 729. Здесь сначала упрощено выражение, а затем вычислена степень.
Задача 2. Упростите выражение 5⁷ : 5³. Делимое и делитель имеют одинаковое ненулевое основание, а показатель делимого больше показателя делителя. Значит, можно сократить три пары одинаковых множителей и вычесть показатели.
Ответ: 5⁴, или 625. Проверка по множителям показывает, что после сокращения остаются четыре пятёрки.
Задача 3. Упростите выражение (−2)⁵ · (−2)³ : (−2)⁶ и найдите его значение. Скобки показывают, что основание каждой степени — всё отрицательное число −2. Сначала объединим степени при умножении, затем разделим полученную степень на последнюю.
Ответ: 4. Скобки важны: квадрат отрицательного числа положителен, потому что произведение двух отрицательных чисел положительно.
При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели: например, вместо aᵐ⁺ⁿ получают aᵐⁿ. Ошибка возникает, если механически выполнять действие над числами сверху, не вспоминая, что они считают множители. Проверьте себя, раскрыв степени: в a² · a³ всего пять множителей a, значит, результат a⁵.
При делении степеней с одинаковым основанием некоторые складывают показатели. Но при делении одинаковые множители сокращаются, поэтому остаётся меньше множителей, чем было в числителе: показатели нужно вычитать. Для проверки раскройте простой пример, например a⁵ : a²: три пары сократятся, останется a³.
Нельзя применять правило к степеням с разными основаниями и записывать aᵐ · bⁿ как (ab)ᵐ⁺ⁿ. Такую запись допускают, перенося правило на похожее выражение, хотя множители здесь не одинаковы. Перед преобразованием сравните основания: если они различаются, складывать показатели по этому правилу нельзя.
Ещё одна ошибка — забыть условие ненулевого основания при делении. Если основание равно нулю, знаменатель степени с натуральным показателем тоже равен нулю, а на ноль делить нельзя. Проверьте, что основание делителя не равно нулю, прежде чем использовать правило частного.
Для работы с правилами нужно уметь представлять степень как произведение одинаковых множителей и выполнять умножение и деление натуральных чисел. Это помогает увидеть, почему показатели складываются или вычитаются, а не запоминать формулы без объяснения. Полученные преобразования пригодятся при упрощении алгебраических выражений и одночленов, где степени часто встречаются вместе с буквами и числами. Позже правила помогут перейти к изучению степеней с нулевым и отрицательным показателями.
Почему при умножении степеней показатели складываются?
Показатели показывают, сколько раз основание записано множителем. При умножении две группы одинаковых множителей объединяются, поэтому их общее число равно сумме показателей.
Почему при делении степеней показатели вычитаются?
Числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, которые можно сократить попарно. После сокращения остаётся столько множителей основания, сколько показывает разность показателей.
Можно ли применять эти правила, если основания разные?
Нет, правила сложения и вычитания показателей относятся только к степеням с одинаковым основанием. Если основания различаются, нужно искать другой способ преобразования выражения.
Почему при делении основание должно быть ненулевым?
При делении на степень с нулевым основанием знаменатель равен нулю. Деление на ноль невозможно, поэтому основание делителя должно быть ненулевым.
Что получается при делении степеней с одинаковыми основанием и показателем?
При ненулевом основании получается 1. Все множители в числителе сокращаются с такими же множителями в знаменателе.
Произведение и частное степеней
