"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Степень помогает коротко записывать произведение одинаковых множителей, а правила действий со степенями — упрощать длинные выражения. При умножении степеней с одинаковым основанием складывают показатели, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Показатель произведения относится к каждому множителю, а показатель частного — к числителю и знаменателю. Эти приёмы нужны для преобразования числовых и буквенных выражений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — это произведение одинаковых множителей: например, a³ = a · a · a. Число или буква a называется основанием и показывает, какой множитель повторяется, а 3 — показателем и показывает число повторений. Такая запись помогает коротко обозначать длинное умножение и сравнивать выражения.
Произведение степеней с одинаковым основанием можно записать одной степенью: показатели складываются, а основание сохраняется. Например, a² · a³ = a⁵. Это правило удобно, когда в выражении несколько раз умножается одна и та же буква или число.
Степень степени — выражение вида (aᵐ)ⁿ, где одну степень возводят в другую. Чтобы упростить его, показатели перемножают: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Правило помогает заменить повторное возведение в степень одной степенью.
Степень произведения — это произведение, возведённое в степень, например (ab)ⁿ. Степень частного — дробь, возведённая в степень, например (a/b)ⁿ. Показатель относится к каждому множителю произведения или отдельно к числителю и знаменателю частного, поэтому скобки можно раскрыть по правилу.
Правило умножения степеней с одинаковым основанием следует из смысла степени как повторного умножения. Например, a² · a³ = (a · a) · (a · a · a), всего здесь пять множителей a. Поэтому запись превращается в a⁵, а показатели 2 и 3 складываются. Основание остаётся прежним, потому что все множители одинаковые.
При делении степеней с одинаковым основанием одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются попарно. Так, a⁵ : a² — это деление произведения из пяти множителей a на произведение из двух таких же множителей; после сокращения остаются три. Значит, результат равен a³, а показатели вычитаются. Основание должно быть ненулевым, иначе делитель может оказаться нулём; при натуральных показателях m ≥ n правило aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ даёт степень с натуральным показателем.
При возведении степени в степень внутреннее произведение повторяется столько раз, сколько показывает внешний показатель. Например, (a²)³ означает (a · a) · (a · a) · (a · a), то есть шесть множителей a. Число повторений получается умножением 2 на 3, поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Здесь складывать показатели нельзя: группы множителей соединяются друг с другом.
Когда в степень возводят произведение, повторяется всё произведение целиком. Например, (ab)³ = (ab) · (ab) · (ab); если переставить множители, получится a · a · a · b · b · b. Поэтому (ab)³ = a³b³, и показатель применяется к каждому множителю. Это позволяет раскрывать скобки, не теряя ни один из множителей.
Частное, возведённое в степень, тоже повторяется целиком: (a/b)³ = (a/b) · (a/b) · (a/b). В этой записи числители перемножаются между собой, и знаменатели — тоже, поэтому результат равен a³/b³. Так степень относится и к числителю, и к знаменателю. Исходный знаменатель b не должен быть равен нулю, иначе само частное не определено.
| Преобразование | Правило | Условия |
|---|---|---|
| Умножение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Показатели натуральные |
| Деление степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0; при натуральных показателях m ≥ n |
| Возведение степени в степень | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Показатели натуральные |
| Возведение произведения в степень | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | Показатель натуральный |
| Возведение частного в степень | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | b ≠ 0; показатель натуральный |
Сначала определи, какое действие выполняется: умножение, деление или возведение в степень. Затем проверь, совпадают ли основания и выполнены ли условия правила. Если выражение содержит произведение или частное в скобках, показатель применяй ко всем его частям.
Задача. Упростите выражение x⁴ · x³. Здесь перемножаются степени с одним и тем же основанием x. Значит, можно воспользоваться правилом сложения показателей и записать произведение одной степенью.
Ответ: x⁷. Проверить результат можно по смыслу степени: слева всего семь множителей x, поэтому справа должна быть седьмая степень.
Задача. Упростите выражение (a²)³ · a². Здесь встречаются возведение степени в степень и умножение степеней с одинаковым основанием. Чтобы не смешать правила, сначала преобразуем выражение в скобках, а затем выполним умножение.
Ответ: a⁸. Порядок действий важен: сначала учитываем внешнюю степень, которая умножает показатели, затем складываем показатели получившихся степеней.
Задача. Упростите выражение (2x²y)³ : (4xy²). В числителе сначала раскроем степень произведения, а потом отдельно разделим коэффициенты и степени одинаковых букв. Поскольку исходный знаменатель 4xy² не должен быть нулём, здесь x ≠ 0 и y ≠ 0.
Ответ: 2x⁵y при x ≠ 0 и y ≠ 0. В этом примере важно не забыть показатель у каждого множителя в скобках и проверить, что делитель не равен нулю.
При умножении степеней иногда складывают основания, например ошибочно записывают a² · a³ как a⁵ с неясным основанием или считают, что нужно сложить сами основания. Так путают две части записи степени. Оставь основание a неизменным и складывай только показатели: a² · a³ = a⁵. Проверка: в произведении должно остаться пять множителей a.
При возведении степени в степень могут сложить показатели вместо того, чтобы перемножить их. Ошибка возникает потому, что при умножении степеней показатели действительно складывают. Но (a²)³ означает три группы по два множителя, всего шесть, поэтому результат — a⁶. Проверяй, какое действие стоит между степенями: умножение или возведение в степень.
При возведении произведения в степень показатель иногда относят только к одному множителю: например, считают, что (ab)³ = ab³. Так происходит, если при раскрытии скобок забывают, что повторяется всё произведение. Правильная запись — a³b³; для проверки разверни скобки как три одинаковые группы ab.
Правило деления применяют, не проверив основание, или пытаются разделить на ноль. Нулевое основание в роли делителя делает выражение невозможным, ведь деление на ноль не определено. До преобразования проверь, что основание делителя не равно нулю, а в дроби — что знаменатель исходного частного ненулевой. Если это условие нарушено, правило применять нельзя.
Чтобы работать со степенями, нужно уметь записывать их как произведение одинаковых множителей и уверенно выполнять действия с натуральными числами. Это помогает понять, откуда берутся правила, а не просто заучить их. Преобразования степеней пригодятся при упрощении буквенных выражений и раскрытии скобок. Позже эти знания помогут разбираться со степенями, у которых показатели могут быть целыми числами.
Почему при умножении степеней складываются показатели?
Каждая степень — это произведение одинаковых множителей. При умножении aᵐ на aⁿ все множители a объединяются в одну запись, и их общее число равно m + n.
Чем отличается умножение степеней от возведения степени в степень?
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Если одну степень возводят в другую, показатели перемножают: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
Можно ли применять правило деления степеней, если основание равно нулю?
Нет, при делении на степень с нулевым основанием делитель равен нулю, а делить на ноль нельзя. Перед преобразованием проверь, что основание не равно нулю.
Как возвести в степень произведение нескольких множителей?
Показатель нужно применить к каждому множителю: (abc)ⁿ = aⁿbⁿcⁿ. Например, (2xy)³ = 2³x³y³.
Нужно ли возводить в степень и числитель, и знаменатель дроби?
Да, если знаменатель исходной дроби не равен нулю: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Степень относится ко всему частному, поэтому охватывает и числитель, и знаменатель.
Преобразование выражений, содержащих степени
