Степень степени

Определения и обозначения

Степень степени — выражение вида (aᵐ)ⁿ, в котором степень возводят в степень. Например, в записи (2³)² число 2 сначала возводят в третью степень, а затем результат — во вторую. Это понятие нужно, чтобы заменять несколько действий одной степенью и проще выполнять вычисления.

Основание степени — число a, которое возводят в степень. В выражении (aᵐ)ⁿ основанием остаётся a: при преобразовании оно не заменяется другим числом или выражением. Умение находить основание помогает правильно применить правило, особенно если в записи есть скобки или отрицательное число.

Показатели степеней — числа m и n в записи (aᵐ)ⁿ. Они показывают, сколько раз повторяется умножение: сначала образуется группа из m множителей a, затем такая группа берётся n раз. При упрощении показатели перемножают, поэтому выражение превращается в aᵐⁿ.

Как это устроено

Разберём запись (aᵐ)ⁿ по действиям. Внутренняя степень aᵐ означает произведение m одинаковых множителей a. Внешний показатель n говорит, что полученное произведение нужно взять множителем n раз. Так становится видно, какие именно множители составляют выражение.

Например, (a³)² — это две группы по три множителя: (a · a · a) · (a · a · a). Всего получилось шесть множителей a, то есть a⁶. В общем случае n групп по m множителей дают mn множителей, поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.

Основание сохраняется, потому что в каждой группе повторяется одно и то же число a. Складывать показатели здесь нельзя: сложение появляется при умножении степеней с одинаковым основанием, например aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. При возведении степени в степень мы не присоединяем одну группу множителей к другой только один раз, а повторяем всю группу n раз — поэтому показатели перемножаются.

Правило работает и с числами, и с буквами. Например, (2³)² = 2⁶, а (x⁴)³ = x¹²; во втором случае вместо конкретного числа основанием служит буква x. Если основание отрицательное и целиком заключено в скобки, например (−2)³, правило тоже применимо: ( ((−2)²)³ ) = (−2)⁶. После преобразования знак результата зависит от чётности конечного показателя.

Записи (aᵐ)ⁿ и aᵐⁿ нельзя путать с a^(mⁿ). В первом выражении внешняя степень действует на всю степень aᵐ, поэтому показатели m и n перемножаются. Во втором выражении показатель равен mⁿ, то есть само число m возведено в степень n. Скобки задают порядок действий, поэтому эти выражения в общем случае имеют разные значения.

Возведение степени в степень

В таблице показано, что меняется при преобразовании и как проверить правило на примерах. Используй строку с нужным видом выражения, а затем отдельно проверь, правильно ли определены основание и действие с показателями. В примерах следи за скобками: они помогают увидеть, какое число возводят в степень.

Разбор задач

Задача 1. Упростите выражение (2³)². Здесь одна степень возводится в другую, поэтому сначала не нужно вычислять число 2³. Применим правило и перемножим показатели.

1. Основание — 2, внутренний показатель — 3, внешний — 2.
2. Запишем (2³)² = 2³·² = 2⁶.
3. Если требуется вычислить значение, получим 2⁶ = 64.

Ответ: 2⁶, или 64.

Задача 2. Вычислите (−3²)² и (−3)⁴, пояснив роль скобок. Скобки в первом выражении охватывают запись −3², но внутри неё степень 3² выполняется раньше знака минус. Во втором выражении скобки сразу показывают, что основание — число −3.

1. Вычислим первое выражение: −3² = −9, поэтому (−3²)² = (−9)² = 81.
2. Во втором выражении основание равно −3; применим правило: (−3)⁴ = 81.
3. Оба результата положительны, потому что квадрат числа −9 и четвёртая степень числа −3 положительны.

Ответ: (−3²)² = 81; (−3)⁴ = 81. Значения совпали, но порядок определения основания в записях различается.

Задача 3. Найдите натуральное n, если (5²)ⁿ = 5⁸. Слева записана степень степени, поэтому преобразуем её, не вычисляя отдельно степени числа 5. После этого основания слева и справа одинаковы, и можно сравнить показатели.

1. Применим правило: (5²)ⁿ = 5²ⁿ.
2. Получим равенство 5²ⁿ = 5⁸, откуда 2n = 8.
3. Разделим обе части равенства показателей на 2: n = 4.

Ответ: n = 4. Проверка: (5²)⁴ = 5⁸.

Типичные ошибки

Ошибка: показатели складывают, получая (aᵐ)ⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Так делают, потому что путают возведение степени в степень с умножением двух степеней одинакового основания. Проверь себя, развернув простую запись: (a²)³ содержит три группы по два множителя, значит, всего шесть множителей.

Ошибка: при преобразовании меняют основание, например записывают (aᵐ)ⁿ как bᵐⁿ. Обычно основание теряют из виду, сосредоточившись только на показателях. Перед вычислением обведи или назови число, которое возводится в степень: оно должно остаться прежним.

Ошибка: считают, что (aᵐ)ⁿ = aᵐ⁺ⁿ, не представляя произведение групп. Сложение показателей действительно встречается в другом правиле, но не здесь. Для проверки раскрой внутреннюю степень и посчитай множители в нескольких небольших примерах.

Ошибка: снимают скобки с отрицательного числа без учёта показателя. Из-за этого путают (−a)ⁿ, где основание отрицательное, и −aⁿ, где сначала возводят a в степень, а потом ставят минус. Проверь порядок действий: если минус входит в основание, он должен быть заключён в скобки.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться со степенью степени, нужно знать смысл степени с натуральным показателем: она обозначает произведение одинаковых множителей. Также пригодится правило умножения степеней с одинаковым основанием — именно его важно отличать от возведения степени в степень. Новое правило помогает упрощать выражения с числами и буквами, а позже — преобразовывать буквенные формулы и выполнять вычисления в несколько шагов.

Что запомнить

• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• Основание при возведении степени в степень не меняется.
• Показатели степеней перемножаются.
• Сначала учитывают скобки и определяют, какое выражение является основанием.
• Степень степени в общем случае не равна aᵐ⁺ⁿ.
• Запись (aᵐ)ⁿ отличается от a^(mⁿ).