"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Степень произведения и дроби помогает упростить вычисления и буквенные выражения. Произведение в скобках можно возвести в степень по частям: каждый множитель получает тот же показатель. Для дроби показатель относится и к числителю, и к знаменателю. Главное — видеть всё основание степени, соблюдать скобки и помнить, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень произведения — это выражение, в котором произведение нескольких множителей возводят в натуральную степень: (ab)^n. Натуральное число n показывает, сколько раз произведение повторяется множителем. Такое представление позволяет возводить множители отдельно и делать вычисления проще.
Степень дроби — выражение, в котором дробь возводят в натуральную степень: (a/b)^n. Показатель относится сразу к числителю и знаменателю, поэтому получаем a^n/b^n. Это нужно, чтобы правильно преобразовывать дробные и буквенные выражения.
Правило степени произведения и дроби записывают так: (ab)^n = a^n b^n и (a/b)^n = a^n/b^n, где n — натуральное число, а b ≠ 0. Буквы a и b обозначают числа или выражения. Условие b ≠ 0 необходимо, потому что деление на ноль невозможно.
Натуральная степень означает умножение одинаковых множителей. Поэтому в записи (ab)^n произведение ab повторяется n раз: (ab)(ab)…(ab). Сначала мы видим не отдельные a и b, а одинаковые пары множителей.
Выпишем повторяющееся произведение подробнее: (ab)(ab)…(ab) = a·b·a·b…·a·b. Множители можно переставлять и группировать, потому что при умножении чисел и букв результат от этого не меняется. Собрав все a вместе и все b вместе, получаем a^n·b^n, то есть (ab)^n = a^n b^n.
Дробь a/b можно рассматривать как частное, но при возведении в степень удобнее считать числитель и знаменатель частями одной дроби. Если дробь повторить n раз, каждый раз повторяются и числитель, и знаменатель. Поэтому (a/b)^n = a^n/b^n, причём исходный знаменатель b должен быть ненулевым.
Показатель относится ко всему выражению, которое стоит в скобках. В записи (ab)^n основание — всё произведение ab, а в записи (a/b)^n основание — вся дробь. Если скобки убрать, смысл может измениться: например, −2² означает −(2²), а (−2)² означает квадрат числа −2.
При решении сначала определите основание степени, затем примените подходящее правило и только после этого вычисляйте. Например, (2·5)^3 = 2³·5³ = 8·125 = 1000, а (x·y)^2 = x²y². Для дроби (−2ab/3)^2 показатель относится ко всему числителю и знаменателю, поэтому результат равен 4a²b²/9.
| Что возводят в степень | Правило | Условие | Пример |
|---|---|---|---|
| Произведение | (ab)^n = a^n b^n | n — натуральное число | (2·3)^2 = 2²·3² |
| Дробь | (a/b)^n = a^n/b^n | n — натуральное число; b ≠ 0 | (2/3)^2 = 2²/3² |
Сначала определите, что находится в скобках: произведение или дробь. Затем перенесите показатель к каждому множителю либо отдельно к числителю и знаменателю. После преобразования можно выполнить вычисления или продолжить упрощение буквенного выражения.
В таблице n всегда обозначает натуральное число. Для дроби дополнительно проверяют, что знаменатель не равен нулю.
Нужно возвести произведение 2·5 в третью степень. Скобки показывают, что основание степени — всё произведение. Применим правило, а затем вычислим получившиеся степени.
Ответ: 1000.
Здесь основанием является вся дробь 3/4, а показатель равен 2. Поэтому в квадрат нужно возвести и числитель, и знаменатель. Знаменатель 4 не равен нулю, значит правило применять можно.
Ответ: 9/16.
В скобках находится дробь, числитель которой является произведением −2, a и b. Показатель 2 относится ко всей дроби, поэтому квадрат получают и числитель, и знаменатель. Квадрат отрицательного множителя −2 будет положительным.
Ответ: 4a²b²/9.
Возводят в степень только первый множитель. Например, ошибочно записывают (ab)^2 = a²b. Так происходит, если не заметить скобки; для проверки перенесите показатель ко всем множителям произведения.
Возводят в степень только числитель. Запись (a/b)^2 = a²/b оставляет знаменатель без изменения. Проверьте себя вопросом: «К чему относится показатель?» — к целой дроби, значит степень должна появиться и у b.
Применяют правило к сумме. Равенство (a + b)^n = a^n + b^n неверно, потому что сумма не превращается в произведение одинаковых множителей. Если между выражениями стоит плюс, правило степени произведения использовать нельзя.
Забывают об ограничении для знаменателя. При b = 0 выражение a/b не определено, поэтому правило степени дроби неприменимо. Перед решением проверьте, что знаменатель не равен нулю.
Для этой темы нужны смысл натуральной степени, таблица умножения и правила действий с числами и буквенными выражениями. Нужно уметь раскрывать произведение одинаковых множителей и понимать, как работают скобки.
Правила пригодятся при преобразовании одночленов, вычислении значений выражений и упрощении дробных выражений. Они помогают заменить длинное повторное умножение более короткой записью.
Почему степень произведения можно записать как произведение степеней?
Потому что произведение в скобках повторяется несколько раз. После перестановки множителей все a собираются вместе, а все b — вместе: (ab)^n = a^n b^n.
Нужно ли возводить в степень знаменатель дроби?
Да, показатель степени относится ко всей дроби. Поэтому (a/b)^n = a^n/b^n, если b ≠ 0.
Можно ли применить это правило к сумме?
Нет, правило относится только к произведению и дроби. Обычно (a + b)^n не равно a^n + b^n.
Что происходит со знаком, если отрицательное произведение возвести в квадрат?
Знак становится положительным, потому что два отрицательных множителя при умножении дают положительный результат. Например, (−2ab)^2 = 4a²b².
Почему знаменатель дроби должен быть ненулевым?
Деление на ноль не определено, поэтому дробь с нулевым знаменателем не существует. В правиле степени дроби условие b ≠ 0 сохраняется.
Степень произведения и дроби
