"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Уравнение — это равенство с переменной, которое становится верным не при каждом её значении. Значение переменной, делающее равенство верным, называют корнем уравнения. Решить уравнение — значит найти все такие значения или доказать, что их нет. Корни проверяют подстановкой в исходное равенство, а при преобразованиях следят за знаками и возможными ограничениями. Уравнение может иметь один корень, несколько корней, ни одного или выполняться при любом значении переменной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство, содержащее переменную, то есть букву, значение которой может меняться. Например, в записи 2x + 1 = 7 переменная — x. При одних значениях x равенство может быть верным, а при других — неверным, поэтому подстановка помогает разобраться, подходит ли конкретное значение.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, для уравнения x + 2 = 5 корнем служит число 3, потому что 3 + 2 = 5. Понятие корня нужно, чтобы точно назвать те значения переменной, которые удовлетворяют условию.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Недостаточно получить одно подходящее значение, если у уравнения могут быть и другие корни. Поэтому при решении важно убедиться и в том, что найденные значения подходят, и в том, что других решений нет.
Множество корней уравнения — совокупность всех значений переменной, удовлетворяющих уравнению. Его записывают в фигурных скобках: например, {2, 5}. Такая запись показывает весь результат решения сразу; если корней нет, множество корней пустое, а если подходит любое значение переменной, так и указывают.
Чтобы проверить, является ли заданное число корнем, вместо переменной подставляют это число. Затем вычисляют левую и правую части равенства отдельно и сравнивают результаты. Если они совпали, подставленное значение подходит; если получились разные числа, равенство неверно и корнем это число не является. Проверка полезна тем, что опирается непосредственно на смысл корня, а не на догадки.
Число корней зависит от того, какие значения делают равенство верным. Иногда подходит одно значение, иногда — несколько: например, уравнение x² = 4 имеет два корня, 2 и −2. После упрощения может получиться неверное равенство вроде 0 = 5 — тогда решений нет. А если обе части совпадают при любом x, например получается 0 = 0, корнем будет любое значение переменной.
Перенесение слагаемого сохраняет равносильность уравнения, то есть не меняет его корни, когда выполняется правильно. Если из одной части нужно убрать +5, прибавляют −5 к обеим частям: это не нарушает равенство, потому что одно и то же число прибавили с каждой стороны. Поэтому в другой части появляется −5. Правило «перенесли — изменили знак» является краткой записью этого действия, а не простым перемещением слагаемого.
Упрощение обеих частей помогает увидеть, какие действия связывают переменную с числами. Раскрывают скобки, умножая каждый член внутри скобок на число перед ними, а затем складывают подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью. После этого часто можно перенести числа в одну часть, а слагаемые с переменной — в другую. Чем проще запись, тем легче найти значение переменной или понять, что равенство невозможно.
После решения найденные значения подставляют именно в исходное уравнение. Это нужно, потому что ошибка в преобразованиях может дать неправильный ответ, а некоторые действия, например деление на выражение с переменной, способны привести к посторонним значениям. Перед делением на такое выражение надо проверить, не может ли оно оказаться равным нулю. Проверка в исходной записи показывает, действительно ли каждое найденное число является корнем.
| Ситуация | Что это означает | Как записать результат |
|---|---|---|
| Один корень | Уравнение верно при одном значении переменной | Например, множество корней {3} |
| Несколько корней | Уравнению удовлетворяют несколько значений | Например, множество корней {−2, 2} |
| Корней нет | Ни одно значение переменной не делает равенство верным | Пустое множество: ∅ |
| Все значения переменной являются корнями | Равенство верно при любом допустимом значении переменной | Записать: корнем является любое число |
Сначала реши уравнение и проверь найденные значения подстановкой, а затем выбери подходящую строку таблицы. Фигурные скобки используют, чтобы перечислить все корни, а ∅ означает, что перечислять нечего: решений нет. Если подходит любое значение переменной, не записывай случайный набор чисел — укажи это словами.
Нужно проверить равенство при конкретном значении, а не решать уравнение заново. Подставим вместо x число 3 и сравним результат с правой частью. Если обе части окажутся одинаковыми, число 3 будет корнем.
Ответ: число 3 является корнем уравнения.
Наша цель — оставить слагаемое с x отдельно, а числа перенести в другую часть. Чтобы убрать −5 слева, прибавим 5 к обеим частям; поэтому справа появится 11 + 5. Затем разделим обе части на коэффициент 4, так как 4x означает 4 · x.
Ответ: x = 4; множество корней — {4}.
Здесь переменная может исчезнуть после раскрытия скобок, поэтому важно упростить обе части и сравнить их. Если останется верное числовое равенство, уравнение подходит при любом x. Если получится противоречие, корней не будет.
Ответ: корнем является любое число, уравнение имеет бесконечно много корней.
Ошибка — назвать корнем любое число, полученное в вычислениях, и не проверить его в исходном уравнении. Такое случается, если доверять промежуточным преобразованиям и забыть, что корень определяется верностью исходного равенства. Подставь найденное значение в исходную запись и вычисли обе части. Если они не равны, число корнем не является.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак, потому что представляют перенос как перемещение по строке. На самом деле к обеим частям прибавляют противоположное число, поэтому знак меняется. Например, при переносе −5 вправо получается +5. Для самопроверки выполни действие с обеими частями, а не только переставь слагаемое.
Деление обеих частей на выражение с переменной без проверки может привести к потере корня. Например, если выражение равно нулю при каком-то значении, делить на него при этом значении нельзя. Сначала найди, при каких значениях делитель обращается в ноль, и рассмотри их отдельно. Так ты не исключишь возможный корень из ответа.
Записывать только один найденный корень опасно: уравнение может иметь и другие решения. Эту ошибку допускают, когда проверяют лишь первое подходящее значение или останавливаются после одного шага. Упрости уравнение до вида, который позволяет найти все решения, и проверь каждое найденное значение подстановкой. В ответе укажи полное множество корней.
Для работы с уравнениями нужны арифметические действия с числами и буквенными выражениями. Также пригодятся раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, потому что эти действия помогают упростить запись и выделить переменную. Если эти приёмы пока вызывают затруднения, полезно повторить их до решения уравнений.
Корни и способы решения уравнений станут основой для изучения линейных уравнений, в которых переменная обычно входит в первой степени. Уравнения помогают составлять математические модели задач: неизвестное обозначают переменной и находят из условия. Позже те же знания понадобятся при решении систем уравнений, где нужно одновременно учитывать несколько равенств.
Как проверить, является ли число корнем уравнения?
Подставь это число вместо переменной в исходное уравнение. Вычисли обе части отдельно и сравни их: если они равны, число является корнем, а если нет — не является.
Может ли уравнение не иметь корней?
Да. Например, после упрощения может получиться равенство 0 = 5, которое неверно при любом значении переменной. Тогда уравнение не имеет корней.
Может ли любое число быть корнем уравнения?
Да, если уравнение после упрощения превращается в верное равенство, например 0 = 0. Тогда ему удовлетворяет любое значение переменной.
Почему при переносе слагаемого меняется знак?
Перенос — это короткая запись действия: к обеим частям уравнения прибавляют число, противоположное переносимому слагаемому. Поэтому слагаемое исчезает из прежней части и появляется в другой с противоположным знаком.
Зачем проверять корни подстановкой в исходное уравнение?
Преобразования могут быть выполнены с ошибкой или привести к значению, которое не подходит исходному уравнению. Подстановка проверяет именно исходное равенство и помогает убедиться, что каждый найденный корень подходит.
Корни уравнения
