Одночлены и многочлены

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, 3a²b и −5x — одночлены, а выражения с переменной в знаменателе, например 1/x, или с переменной под корнем, например √x, одночленами не являются. По этому признаку можно понять, какие выражения можно преобразовывать по правилам для одночленов.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовой множитель стоит первым, а одинаковые переменные объединены в степени: например, 2a · 3a² = 6a³. Числовой множитель называют коэффициентом, а сумму показателей степеней переменных — степенью одночлена. Стандартная запись помогает быстро определить эти характеристики и выполнять вычисления без лишних действий.

Подобные одночлены — одночлены с одинаковой буквенной частью, например 3a² и −5a². Их можно складывать или вычитать, складывая или вычитая коэффициенты: 3a² − 5a² = −2a². Это правило позволяет упрощать выражения, не меняя их значения.

Многочлен — сумма одночленов, например 2x² − 3x + 1. Одночлены, из которых он состоит, называют его членами. Если в записи есть разность, её рассматривают как сложение слагаемого с противоположным знаком: −3x — тоже член многочлена.

Как это устроено

Чтобы привести произведение к стандартному виду одночлена, сначала перемножают числовые множители, а затем объединяют одинаковые переменные. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: a² · a³ = a⁵, потому что это произведение пяти множителей a. Так, 2a · 3a²b = 6a³b.

Степень одночлена показывает общее число переменных-множителей, если раскрыть степени. Поэтому у a²b³ степень равна 2 + 3 = 5: множитель a повторяется дважды, а b — трижды. Числовой коэффициент в это число не входит, так как он не является переменной и не увеличивает количество буквенных множителей.

Чтобы получить многочлен стандартного вида, раскрывают скобки, если это необходимо, и приводят подобные члены. При раскрытии скобок каждый член внутри заменяют результатом умножения на стоящий перед скобками множитель. Затем одинаковые буквенные части собирают вместе, чтобы получить более короткую и удобную запись того же выражения.

При сложении и вычитании многочленов объединяют только подобные члены: например, 2x и −5x можно заменить на −3x. Члены с разными буквенными частями так объединить нельзя, потому что они обозначают разные слагаемые: x² и x не становятся одинаковыми от сложения. Поэтому перед вычислением нужно сравнить буквенную часть каждого члена целиком.

При умножении одночлена на одночлен перемножают коэффициенты и складывают показатели одинаковых переменных. При умножении одночлена на многочлен используют распределительное свойство: каждый член многочлена умножают на одночлен. Например, 2a(b + 3) = 2ab + 6a, потому что 2a умножается и на b, и на 3.

Одночлены и многочлены: виды записи и действия

Сначала найди в таблице нужное понятие или действие, а затем сверься с правилом и примером. Если требуется упростить выражение, проверь, не нужно ли сначала раскрыть скобки, а потом объединить подобные члены.

Разбор задач

Приведите одночлен −3a² · 2a · b³ к стандартному виду и укажите его коэффициент и степень.

1. Перемножаем числовые множители: −3 · 2 = −6. Знак результата отрицательный, так как множители имеют разные знаки.
2. Объединяем одинаковые буквы: a² · a = a³, а b³ остаётся без изменений. Получаем стандартный вид −6a³b³.
3. Коэффициент равен −6, а степень равна сумме показателей: 3 + 3 = 6. Числовой множитель при подсчёте степени не учитываем.

Ответ: −6a³b³; коэффициент −6, степень 6.

Упростите выражение 4x² − 3x + 2x² + 5x − 7.

1. Ищем члены с одинаковой буквенной частью. Квадратные члены — 4x² и 2x², линейные — −3x и 5x, а число −7 не имеет пары.
2. Складываем коэффициенты каждой группы: 4x² + 2x² = 6x², а −3x + 5x = 2x. Число −7 записываем без изменений.
3. Записываем результат в порядке убывания степеней: сначала член со степенью 2, затем со степенью 1 и постоянное число. Вычисление не меняет значения исходного выражения.

Ответ: 6x² + 2x − 7.

Упростите выражение −2a(3a² − 4a + 5) + a²(a − 2) и запишите ответ в стандартном виде.

1. Раскрываем первые скобки: умножаем −2a на каждый член. Получаем −6a³ + 8a² − 10a, причём произведение отрицательного числа на −4a даёт положительный член.
2. Раскрываем вторые скобки: умножаем a² на a и на −2. Получаем a³ − 2a².
3. Записываем все члены вместе и группируем подобные: −6a³ + a³ = −5a³, 8a² − 2a² = 6a². Член −10a не имеет подобного слагаемого, поэтому остаётся в ответе.

Ответ: −5a³ + 6a² − 10a.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать показатели степеней при сложении одночленов, например считать, что a² + a³ = a⁵. Показатели складывают при умножении степеней с одинаковым основанием, а при сложении объединяют только подобные члены. Проверь действие между членами: знак плюс не превращает сумму в произведение.

Ошибка: считать 3a и 3b подобными, потому что у них одинаковые коэффициенты. Буквенные части различаются, а для подобия они должны совпадать полностью, включая буквы и показатели. Сверь буквенную часть каждого члена отдельно от коэффициента.

Ошибка: умножать одночлен только на первый член многочлена в скобках. Так получается неполное выражение, потому что множитель относится ко всей сумме. Для проверки нарисуй мысленно стрелку от множителя к каждому члену скобок и убедись, что ни один не пропущен.

Ошибка: после минуса перед скобками оставить прежними знаки некоторых членов. Минус означает умножение каждого слагаемого на −1, поэтому знак меняется у каждого члена. Проверь результат, раскрыв скобки как произведение на −1: например, −(a − 2) = −a + 2.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами и многочленами нужны знания о буквенных выражениях, порядке действий, свойствах сложения и умножения, а также о действиях со степенями. Они помогают правильно группировать множители и раскрывать скобки. Если одно из этих правил забыто, вычисления в многочленах легко выполнить неверно.

Преобразования одночленов и многочленов используют при упрощении выражений и разложении многочленов на множители. Они также помогают решать уравнения: выражение можно привести к более удобному виду, не меняя его значения. Поэтому умение работать с подобными членами пригодится в следующих темах алгебры.

Что запомнить

• В стандартном виде одночлена числовой множитель записывают первым.
• Степень одночлена равна сумме показателей степеней его переменных.
• Подобные одночлены отличаются только коэффициентами.
• При сложении подобных одночленов складывают коэффициенты.
• Многочлен — сумма одночленов.
• При умножении одночлена на многочлен его умножают на каждый член многочлена.