"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Многочлены — выражения, состоящие из одночленов, например 3x + 2 или a² − 4a + 1. Их сложение и вычитание помогают упрощать алгебраические записи и решать уравнения. Для действий многочлены заключают в скобки: при сложении знаки сохраняются, а при вычитании знаки всех членов вычитаемого меняются. Затем находят подобные члены и складывают или вычитают только их коэффициенты, оставляя буквенную часть прежней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — сумма одночленов, например 3x + 2 или a² − 4a + 1. Одночлены могут быть подобными и неподобными: в записи 3x + 2x − 5 первые два подобны, а число −5 с ними не подобно. Понятие многочлена позволяет записывать несколько слагаемых как одно выражение и выполнять действия сразу со всем выражением.
Подобные члены многочлена — одночлены с одинаковой буквенной частью, то есть с теми же буквами в тех же степенях. Например, 5a² и −2a² подобны, а 5a и 5a² — нет. Коэффициенты подобных членов можно складывать или вычитать, чтобы упростить запись, не меняя буквенную часть.
Сумма многочленов — выражение, полученное сложением двух или нескольких многочленов. Её записывают, заключая многочлены в скобки и ставя между ними знак плюс: (3x + 2) + (x − 5). Скобки показывают, какие слагаемые входят в каждый многочлен, и помогают не потерять их знаки.
Разность многочленов — выражение, полученное вычитанием одного многочлена из другого. В записи (4a² − 3a + 1) − (a² + 2a − 6) первый многочлен — уменьшаемое, второй — вычитаемое. Порядок здесь важен: если поменять многочлены местами, обычно получится другое значение.
Сумму многочленов сначала удобно записать в скобках, потому что так видно, какие слагаемые относятся к каждому выражению. Скобки можно раскрыть: сложение означает, что мы прибавляем каждый член второго многочлена к первому. Затем можно собрать одинаковые буквенные части, чтобы получить более короткую запись. Так порядок действий становится понятным и меньше риск пропустить член.
При сложении перед скобками стоит плюс, а прибавление не меняет знак ни одного слагаемого. Поэтому после раскрытия скобок все члены второго многочлена записываются со своими прежними знаками. Например, (x + 2) + (3x − 1) превращается в x + 2 + 3x − 1. Если ошибочно заменить −1 на +1, исходная сумма изменится.
При вычитании нужно убрать из первого многочлена весь второй, а не только его первый член. Это равносильно прибавлению противоположного многочлена: у каждого его слагаемого знак становится обратным. Поэтому перед вычитаемым ставят минус и раскрывают скобки, меняя все знаки внутри. Например, −(a² + 2a − 6) = −a² − 2a + 6.
После раскрытия скобок сравнивают буквенные части всех членов. Совпадающие части группируют, а их коэффициенты складывают или вычитают с учётом знаков; неподобные слагаемые оставляют отдельно. Например, 4x − 2 + 3x + 5 даёт 7x + 3: складываются коэффициенты при x и отдельно числа. Буквенная часть x при этом остаётся той же.
При сложении можно менять местами слагаемые: от перестановки сумма не меняется, поэтому многочлены удобно записывать в порядке подобных членов. У вычитания такой свободы нет: уменьшаемое и вычитаемое выполняют разные роли. Например, 8 − 3 = 5, но 3 − 8 = −5. Значит, сначала соблюдают порядок в разности, а уже затем раскрывают скобки и упрощают выражение.
| Действие | Запись | Что происходит со скобками | Что сделать после раскрытия скобок |
|---|---|---|---|
| Сложение многочленов | (A) + (B) | Знаки членов сохраняются | Найти подобные члены и объединить их |
| Вычитание многочленов | (A) − (B) | Все знаки во вторых скобках меняются | Найти подобные члены и объединить их |
| Приведение подобных членов | ka + ma = (k + m)a | Скобок можно не менять | Сложить коэффициенты, буквенную часть оставить |
В таблице A и B обозначают любые многочлены, а k и m — коэффициенты. Сначала выбери строку по знаку между многочленами, затем раскрой скобки по правилу этой строки. В конце проверь, что объединил только члены с одинаковой буквенной частью.
Нужно сложить оба выражения: при плюсе знаки членов сохраняются. После раскрытия скобок отдельно сравним члены с x и числа. Коэффициенты при x складываются, как и постоянные слагаемые.
Ответ: 4x − 3.
Из первого многочлена вычитается второй, поэтому сначала сохраним их заданный порядок. Минус перед вторыми скобками изменит знак каждого их члена. Затем сгруппируем квадратичные члены, члены с a и числа.
Ответ: 3a² − 5a + 7.
Здесь три группы слагаемых, поэтому знаки при раскрытии скобок нужно учитывать по очереди. Первая группа сохраняется, у второй меняются все знаки из-за минуса, а у третьей они остаются прежними из-за плюса. После этого объединим члены с x², xy и y².
Ответ: x² − 2xy + 3y².
При вычитании иногда меняют знак только у первого члена в скобках. Так происходит, если минус воспринимают как относящийся лишь к ближайшему слагаемому, хотя он означает вычитание всего многочлена. Проверь каждое слагаемое вычитаемого: у каждого знак должен стать противоположным. Например, −(a + b − c) = −a − b + c.
При сложении можно по ошибке поменять знаки членов второго многочлена, будто перед скобками стоит минус. Причина — невнимание к знаку между скобками. После плюса знаки сохраняются, поэтому проверь, что в записи (a − b) + (c − d) члены остались a, −b, c и −d. Меняются все знаки только при минусе перед скобками.
Нельзя складывать коэффициенты у неподобных членов, например у x и x². Такое случается, когда смотрят только на числа перед буквами и не сравнивают сами буквенные части. Перед объединением сопоставь буквы и их степени: 2x + 3x² так и остаётся суммой двух членов, а 2x + 3x можно заменить на 5x.
При приведении подобных членов иногда меняют буквенную часть или её степень. Например, из 4a² − a² нельзя получить 3a: вычитаются только коэффициенты, поэтому результат равен 3a². Чтобы проверить себя, временно подчеркни одинаковые буквенные части и выполняй действия только с числами перед ними. После вычисления буквенная часть должна остаться такой же.
Для сложения и вычитания многочленов нужно уметь распознавать одночлены, находить их коэффициенты и буквенные части, а также приводить подобные слагаемые. Если трудно определить, какие члены можно объединить, сначала повтори эти навыки на отдельных выражениях. Правила работы со скобками помогают преобразовывать более сложные алгебраические выражения. Такие преобразования понадобятся и при решении уравнений: упрощённые выражения легче сравнивать и вычислять.
Почему при вычитании многочлена меняются знаки всех членов?
Вычитание многочлена равносильно прибавлению противоположного ему многочлена. Противоположный многочлен получают, меняя знак каждого члена, поэтому минус перед скобками относится ко всем членам внутри.
Можно ли складывать члены с разными буквами?
Нет, объединять при приведении подобных можно только члены с одинаковой буквенной частью. Например, 2x и 3y остаются разными слагаемыми, а 2x и 3x можно сложить.
Как понять, какие члены многочлена являются подобными?
Сравни буквенную часть и степени букв у членов. Если они полностью совпадают, члены подобные: например, 5a² и −2a². Коэффициенты при этом могут быть разными.
Меняются ли знаки при раскрытии скобок после плюса?
Нет, после плюса знаки всех членов сохраняются. Например, выражение (x + 2) + (3x − 1) раскрывается как x + 2 + 3x − 1.
Можно ли переставлять многочлены при вычитании?
Нет, потому что при вычитании важен порядок: уменьшаемое минус вычитаемое. Например, 7 − 3 = 4, а 3 − 7 = −4. При сложении слагаемые, напротив, можно переставлять.
Сложение и вычитание многочленов
