Повторение по теме «Координаты и графики»

Определения и обозначения

Координатная плоскость — это плоскость, которую образуют две перпендикулярные координатные оси с общим началом. Горизонтальную ось обычно обозначают x, вертикальную — y. Положение точки задают двумя числами, поэтому плоскость позволяет точно описывать, где находится точка.

Координаты точки — пара чисел, показывающая её положение относительно осей. Первое число задаёт смещение по горизонтали, второе — по вертикали. Например, запись (2; 3) означает, что от начала координат нужно пройти вправо на 2 единицы, а затем вверх на 3.

Абсцисса — первая координата точки, а ордината — вторая. В записи (x; y) число x является абсциссой и относится к горизонтальной оси, число y является ординатой и относится к вертикальной. Эти названия помогают не путать координаты и правильно читать или строить точки.

График зависимости — множество точек координатной плоскости, координаты которых связаны рассматриваемой зависимостью. Каждая точка соответствует паре значений величин. График нужен, чтобы наглядно увидеть связь между величинами и находить значения одной из них по другой.

Как это устроено

Чтобы построить координатную плоскость, сначала отмечают начало отсчёта — точку пересечения осей. На каждой оси выбирают единичный отрезок, чтобы одинаковые расстояния соответствовали одинаковым изменениям числа. Затем проводят оси под прямым углом и указывают стрелками положительные направления; без единичного отрезка и стрелок нельзя однозначно понять масштаб и знаки.

При построении точки сначала откладывают абсциссу, а потом ординату, потому что они отвечают за смещения вдоль разных осей. Сначала от начала координат движутся вправо или влево на значение x. Из полученного положения перемещаются вверх или вниз на значение y. Так оба числа определяют одно конкретное место на плоскости.

Знаки координат показывают направление движения от начала координат. Положительный x означает движение вправо, отрицательный — влево; положительный y ведёт вверх, отрицательный — вниз. Поэтому сочетание знаков помогает определить четверть. Если одна координата равна нулю, движения по соответствующей оси нет, и точка оказывается на оси, а не внутри четверти.

Чтобы прочитать график, выбери на нём точку: её горизонтальная координата показывает значение x, а вертикальная — соответствующее значение y. Если задано x, найди его на горизонтальной оси и двигайся оттуда к графику, затем к вертикальной оси. Если известно y, действуй в обратном направлении. Такой способ работает потому, что каждая точка графика представляет пару связанных значений.

График по формуле или таблице строят через несколько пар значений. Выбирают допустимые значения одной переменной, подставляют их в формулу и вычисляют вторую переменную. Полученные пары записывают как координаты точек и наносят на плоскость. Точки соединяют только так, как требует условие и смысл зависимости: иногда получается линия, а иногда на графике оставляют отдельные точки.

Знаки координат в четвертях координатной плоскости

Чтобы определить четверть, сначала посмотри на знак x, затем на знак y и найди их сочетание в таблице. На оси x координата y равна нулю, а на оси y нулю равна координата x. Начало координат лежит сразу на обеих осях.

Разбор задач

Задача. Построить точки A(2; 3), B(−2; 1) и C(0; −2), указав, где расположена каждая. Нули и знаки координат важно учитывать до построения: они сразу подсказывают направление движения и положение относительно осей.

1. Для точки A от начала координат идём вправо на 2, затем вверх на 3. Обе координаты положительны, поэтому A лежит в I четверти.
2. Для точки B идём влево на 2, затем вверх на 1. Абсцисса отрицательна, ордината положительна, значит, B лежит во II четверти.
3. У точки C абсцисса равна нулю, поэтому перемещения по горизонтали нет. От начала координат идём вниз на 2; точка C лежит на оси y.

Ответ: A — в I четверти, B — во II четверти, C — на оси y.

Задача. По изображённому графику определить значения y при x = −1, x = 0 и x = 2, а также найти x, при котором y = 1. Числовых данных графика в условии нет, поэтому конкретные числа можно прочитать только с самого графика. Рассмотрим порядок действий, который позволяет получить ответы без путаницы.

1. Найди на горизонтальной оси отметку x = −1. Проведи от неё вверх или вниз до графика, а от точки пересечения — горизонтально к оси y; прочитанное число и есть соответствующее y.
2. Повтори те же действия для x = 0 и x = 2. Запиши результат как пары (−1; y), (0; y) и (2; y), чтобы не перепутать, к какому x относится каждое значение.
3. Для поиска x при y = 1 начни с отметки 1 на вертикальной оси. Проведи горизонталь до графика, а от пересечения опустись или поднимись к оси x и прочитай значение.

Ответ: конкретные значения определяются по изображённому графику указанными способами.

Задача. Для зависимости y = 2x − 1 составить таблицу при x = −1, 0, 1, 2, построить график и найти y при x = 3. Сначала вычислим значения по формуле, затем используем полученные пары как координаты точек. Это позволяет проверить график и ответ подстановкой.

1. Подставляем x = −1: y = 2 · (−1) − 1 = −3. При x = 0 получаем y = −1; при x = 1 — y = 1; при x = 2 — y = 3.
2. Записываем пары (−1; −3), (0; −1), (1; 1), (2; 3) и наносим их на координатную плоскость. Точки лежат на одной прямой, поэтому их соединяют прямой линией.
3. Находим значение при x = 3 по графику или формуле: y = 2 · 3 − 1 = 5. Подстановка подтверждает, что точка с абсциссой 3 имеет ординату 5.

Ответ: таблица значений — −3, −1, 1, 3; график — прямая через построенные точки; при x = 3 значение y = 5.

Типичные ошибки

Иногда координаты записывают в порядке (y; x), путая названия абсциссы и ординаты. Это происходит, если не помнить, какая ось горизонтальная, а какая вертикальная. Проверка простая: первая координата всегда относится к оси x, вторая — к оси y. Перед построением точки прочитай пару вслух как «сначала x, потом y».

Отрицательное число могут отложить в положительном направлении или вовсе не учесть знак. Такое случается, когда считают деления, не сверяясь со стрелками осей. Проверь, что отрицательный x ведёт влево, а отрицательный y — вниз. Если точка оказалась не в той четверти, сначала перепроверь знаки, а затем координаты.

Точку с нулевой координатой иногда помещают в четверть. Причина в том, что ноль принимают за маленькое положительное или отрицательное число, хотя он не имеет такого направления. При x = 0 точка лежит на оси y, при y = 0 — на оси x; при x = 0 и y = 0 это начало координат. Сверь положение точки с осью, а не с областью между осями.

Нанесённые точки графика могут соединить произвольной линией, не проверив зависимость. Но сами точки показывают только известные пары, а вид линии должен соответствовать условию и смыслу задачи. Проверь формулу или описание: допускает ли зависимость промежуточные значения и какую форму графика подсказывают точки? Если данных недостаточно, не придумывай продолжение графика без основания.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужны навыки сравнения положительных и отрицательных чисел, счёта по числовой прямой и вычисления значений выражений. Эти умения помогают правильно откладывать числа на осях и подставлять значения в формулы. Координатная плоскость и чтение графиков понадобятся при изучении функций, линейных уравнений и систем уравнений. Графическое изображение позволит увидеть решения и связи, которые не всегда заметны в записи формул.

Что запомнить

• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Абсцисса относится к оси x, ордината — к оси y.
• Начало координат имеет координаты (0; 0).
• Если одна координата точки равна нулю, точка лежит на соответствующей оси.
• Точки графика соответствуют парам значений, связанных зависимостью.
• По графику можно находить значение одной величины по заданному значению другой.