"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Например, вместо 5 · 5 · 5 · 5 можно написать 5⁴. Степени помогают короче записывать вычисления и преобразовывать буквенные выражения. Главное — различать основание и показатель и помнить, какое действие выполняют с показателями: складывают, вычитают или перемножают. Для каждого правила важно соблюдать его условия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — это запись произведения одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где всего n множителей. Например, 4³ означает 4 · 4 · 4. Такая запись делает длинное повторяющееся умножение короче и помогает быстрее выполнять вычисления.
Основание степени — число a, которое повторяется в произведении. В записи 7⁵ основание равно 7, поэтому выражение означает пять множителей, каждый из которых равен 7. Найти основание нужно, чтобы понять, какие числа перемножаются и можно ли применить свойства степеней.
Показатель степени — натуральное число n, которое показывает, сколько раз основание входит в произведение. Например, в записи 2⁴ показатель равен 4, значит, число 2 нужно взять множителем четыре раза. По показателю можно определить длину произведения и не спутать её с самим основанием.
Степень произведения — правило, позволяющее возвести в степень каждый множитель отдельно: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Например, (2 · 3)² = 2² · 3². Это правило удобно, когда произведение в скобках проще вычислять по частям; степень при этом относится ко всем множителям.
Определение степени прямо задаёт способ вычисления: нужно перемножить указанное число одинаковых оснований. Так, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Если показатель равен 1, множитель только один, поэтому a¹ = a: никакого дополнительного умножения не требуется.
При умножении степеней с одинаковым основанием произведения можно соединить. Например, a³ · a² — это три множителя a, умноженные ещё на два таких же множителя; всего получается пять. Поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ: складываются количества множителей, а не сами основания.
При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием общие множители сокращаются. Например, в a⁵ : a² можно убрать по одному a в числителе и знаменателе два раза, и останется a³. Отсюда aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при a ≠ 0; условие нужно, потому что деление на ноль не определено.
При возведении степени в степень исходное произведение повторяется несколько раз. В выражении (aᵐ)ⁿ каждый из n множителей содержит m оснований a, значит, всего основание встречается m · n раз. Поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, и показатели перемножаются.
Чтобы возвести произведение в степень, нужно повторить всю скобку как множитель: (ab)ⁿ = (ab) · … · (ab). Перегруппировав множители, получаем aⁿbⁿ. Так же работает частное: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, если b ≠ 0; в каждой повторённой скобке есть множитель a и делитель b.
| Правило | Запись | Условие или смысл |
|---|---|---|
| Определение степени | aⁿ = a · a · … · a | n одинаковых множителей; n — натуральное число |
| Умножение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Основания одинаковы, показатели складываются |
| Деление степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0; сокращаются общие множители |
| Возведение степени в степень | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Показатели перемножаются |
| Возведение произведения в степень | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | Степень применяется к каждому множителю |
| Возведение частного в степень | (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ | b ≠ 0; степень применяется к делимому и делителю |
Сначала найди в выражении основание и показатель, затем выбери строку с подходящим действием. Проверь, совпадают ли основания и выполнены ли условия, особенно при делении. После преобразования вычисляй полученную степень или подставляй значение переменной.
Задача 1. Запишите в виде степени произведение 5 · 5 · 5 · 5 и вычислите его. Все множители одинаковы, поэтому основанием будет число 5. Их четыре, значит, показатель степени равен 4.
Сосчитайте множители: число 5 встречается четыре раза. Это количество станет показателем степени.
Запишите произведение короче: 5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴. По определению степени 5⁴ = 625.
Ответ: 5⁴ = 625.
Задача 2. Упростите выражение x⁴ · x³ и вычислите его при x = 2. Основания одинаковы, поэтому можно объединить множители и сложить показатели. Подставлять число удобнее уже после упрощения выражения.
Примените правило умножения степеней: x⁴ · x³ = x⁴⁺³ = x⁷. Получилось семь множителей x.
Замените x числом 2: x⁷ = 2⁷. Вычислите степень: 2⁷ = 128.
Ответ: x⁷; при x = 2 значение выражения равно 128.
Задача 3. Упростите выражение ((2a³)² · a⁴) : a⁵ при a ≠ 0. Здесь сначала нужно разобраться со скобками, а затем выполнять умножение и деление степеней. Условие a ≠ 0 позволяет применить правило деления степеней с одинаковым основанием.
Возведите произведение в квадрат: (2a³)² = 2² · (a³)² = 4a⁶. Скобки важны: в квадрат возводятся оба множителя.
Умножьте степени с основанием a: 4a⁶ · a⁴ = 4a¹⁰. Показатели складываются, потому что множители объединяются.
Разделите на a⁵: (4a¹⁰) : a⁵ = 4a⁵. Основание ненулевое, поэтому пять общих множителей a можно сократить.
Ответ: 4a⁵ при a ≠ 0.
При умножении степеней иногда складывают основания: например, ошибочно записывают a³ · a² как a⁵, будто складывают сами числа. Правило действует только при одинаковом основании, и складывать нужно показатели. Проверь себя, раскрыв степени: в произведении должно быть пять множителей a.
При возведении степени в степень могут сложить показатели вместо того, чтобы перемножить их. Ошибка возникает, если перепутать это правило с умножением степеней одинакового основания. Раскрой скобки: (a²)³ содержит три группы по два множителя, то есть всего шесть множителей a и результат a⁶.
Возводя произведение в степень, иногда применяют показатель только к одному множителю: (ab)² ошибочно превращают в a²b. Скобки охватывают и a, и b, поэтому степень нужна каждому множителю: (ab)² = a²b². Проверка через раскрытие скобок даёт ab · ab = a²b².
Правило деления степеней порой используют при нулевом основании. Но выражение 0 : 0 не имеет смысла, как и любое деление на ноль; поэтому в правиле aᵐ : aⁿ требуется a ≠ 0. Перед сокращением проверь, что основание действительно ненулевое.
Для работы со степенями нужны навыки умножения и деления натуральных чисел, понимание буквенных выражений и соблюдение порядка действий. Например, сначала выполняют действие в скобках, затем возводят в степень, после чего умножают или делят. Эти знания помогают не только считать числа, но и преобразовывать выражения с переменными.
Свойства степеней пригодятся при упрощении одночленов и многочленов: с их помощью объединяют множители с буквами и сокращают выражения. Позднее те же правила будут использоваться при работе с рациональными и алгебраическими выражениями. Уверенное владение свойствами делает длинные вычисления короче и уменьшает риск ошибок.
Что показывает показатель степени?
Показатель показывает, сколько раз основание входит в произведение одинаковых множителей. Например, в записи 3⁴ число 3 повторяется четыре раза: 3 · 3 · 3 · 3.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают?
Каждая степень — это несколько одинаковых множителей. При умножении все множители объединяются в одну цепочку, поэтому их общее количество равно сумме показателей: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Когда можно применять правило деления степеней?
Правило aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ применяют при одинаковых основаниях и условии a ≠ 0. Нулевое основание использовать нельзя, потому что делить на ноль не определено.
Почему при возведении степени в степень показатели перемножают?
Степень в степени означает, что исходную степень берут множителем несколько раз. Поэтому каждый из n множителей содержит m одинаковых оснований, а всего их m · n.
Как возвести произведение или частное в степень?
Нужно возвести в эту степень каждый множитель: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Для частного правило такое же: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, но знаменатель b должен быть отличен от нуля.
Повторение по теме: «Степени с натуральным показателем»
