"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Буквенное выражение состоит из чисел, букв и знаков действий, а буквы в нём обозначают числа. Одно и то же количество можно записать по-разному, поэтому выражения часто преобразуют: раскрывают скобки, распределяют множитель и приводят подобные слагаемые. Главное — не менять значение выражения при допустимых значениях букв. Упрощённую запись легче читать, использовать в вычислениях и подставлять в уравнения и задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Буквенное выражение — выражение, составленное из чисел, букв и знаков действий. Например, 3x + 5: буква x обозначает некоторое число, которое может меняться. Такие записи помогают говорить о количестве, не подставляя сразу конкретные числа. Если вместо буквы подставить число, получится числовое выражение.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 4a и −2a подобны, потому что в обоих случаях буквенная часть — a. Их можно складывать или вычитать: достаточно выполнить действие с числовыми множителями. Слагаемые с разными буквенными частями так объединить нельзя.
Коэффициент — числовой множитель буквенной части одночлена. В выражении 7x коэффициент равен 7, а если число не написано, оно всё равно подразумевается: у a коэффициент 1. У выражения −a коэффициент −1, потому что −a = (−1) · a. Коэффициенты нужны, чтобы понимать, какие числа складывать при приведении подобных слагаемых.
Тождественные преобразования — преобразования выражения, при которых его значение не меняется при допустимых значениях букв. Например, 2(x + 3) и 2x + 6 имеют одинаковые значения при любом x. Такие преобразования позволяют заменить громоздкую запись более удобной, не меняя задачу. Проверять нужно не только вычисления, но и то, что преобразование сохраняет значение.
Одно и то же количество можно описать разными выражениями. Например, стоимость двух одинаковых предметов по цене x рублей можно записать как x + x или 2x. Преобразование помогает выбрать запись, с которой проще считать или решать задачу. При этом значение должно оставаться прежним при любом допустимом значении буквы, а не только при одном удобном примере.
Если перед скобками стоит знак «+», скобки можно убрать, сохранив знаки всех слагаемых внутри. Это работает потому, что прибавление суммы означает прибавление каждого её слагаемого: 5 + (a − 2) = 5 + a − 2. Скобки здесь лишь показывают, какие части сначала собраны вместе. Поэтому плюс перед скобками не меняет слагаемые на противоположные.
Знак «−» перед скобками показывает, что всё выражение в скобках вычитают. Вычитание суммы можно заменить сложением противоположных слагаемых, поэтому знак нужно изменить у каждого слагаемого: 8 − (a + 3) = 8 − a − 3. Если внутри было вычитание, оно тоже меняет знак: 8 − (a − 3) = 8 − a + 3. Изменение только первого знака не соответствует вычитанию всей суммы.
Число перед скобками умножается на всё выражение внутри, а сумма внутри состоит из нескольких слагаемых. Поэтому множитель распределяют на каждое из них: 3(a + 4) = 3a + 12. Это распределительное свойство умножения относительно сложения; оно работает и при вычитании, если учитывать знак: 2(a − 5) = 2a − 10. Если пропустить одно слагаемое, получится уже другое значение.
Когда скобки раскрыты, можно искать подобные слагаемые и объединять их. Например, 6x − 2x + 3 = 4x + 3: сначала складывают коэффициенты 6 и −2, а буквенную часть x сохраняют. Это допустимо, потому что оба слагаемых содержат одинаковое количество x. Числа без букв тоже подобны между собой, а слагаемые с разными буквами остаются раздельными.
| Ситуация | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Перед скобками стоит знак «+» | Слагаемые сохраняют свои знаки. | +(a − 2) = a − 2 |
| Перед скобками стоит знак «−» | Знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные. | −(a − 2) = −a + 2 |
| Множитель стоит перед скобками | Множитель умножается на каждое слагаемое в скобках. | 3(a + 2) = 3a + 6 |
| В выражении есть подобные слагаемые | Складывают коэффициенты, буквенную часть сохраняют. | 5x − 2x = 3x |
| Проверка результата | Подставляют одинаковое значение буквы в исходное и полученное выражения. | При x = 2: 2(x + 1) = 6 и 2x + 2 = 6 |
Сначала определите, какая ситуация перед вами: знак перед скобками, множитель или уже раскрытые скобки с подобными слагаемыми. Примените соответствующее правило, следя за знаками и буквенными частями. Если сомневаетесь в результате, подставьте значение буквы и сравните вычисления для обеих записей.
Все три слагаемых содержат одну и ту же буквенную часть x, значит, их можно объединить. Коэффициент перед третьим слагаемым равен −3: знак минус относится к числу, умноженному на x. Складываем коэффициенты, а x оставляем без изменения.
Ответ: 8x.
Перед скобками стоит минус, поэтому нужно заменить знак каждого слагаемого внутри на противоположный. После раскрытия скобок появятся три слагаемых с a и одно число. Затем соберём подобные слагаемые: отдельно буквенные и отдельно числовые.
Ответ: 4a + 3.
Здесь есть два действия со скобками, поэтому раскрываем каждую отдельно. В первом случае умножаем 3 на оба слагаемых, во втором — −2 на оба слагаемых; знак перед второй скобкой можно включить в множитель. После этого объединяем слагаемые с x и числа. Подстановка x = 4 послужит проверкой вычисленного значения.
Ответ: 4x − 15; при x = 4 значение выражения равно 1.
После знака «−» иногда меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Так происходит, если воспринимать минус как знак одного ближайшего члена, хотя он относится ко всей скобке: например, −(a − 2) = −a + 2. Чтобы проверить себя, мысленно распределите вычитание на каждое слагаемое и убедитесь, что все знаки внутри поменялись.
При умножении числа на скобки можно по ошибке умножить только первый член. Например, 3(a + 4) — это 3a + 12, а не 3a + 4, потому что множитель относится ко всей сумме. Ошибка часто возникает, когда скобки читают как часть записи, а не как сумму слагаемых. Проверьте, что множитель встретился у каждого члена скобок.
Слагаемые с разными буквенными частями иногда принимают за подобные, если у них одинаковые числа. Но 3x и 3y содержат разные буквы и описывают разные величины, поэтому их нельзя объединить в 6xy или 6x. Сравнивайте именно буквенную часть, не только коэффициенты. Если буквы или их набор различаются, слагаемые оставляют отдельно.
При приведении подобных слагаемых некоторые меняют не только коэффициенты, но и буквенную часть. Например, 2x + 5x = 7x, а не 7 или 7x²: буква x просто показывает общую часть слагаемых. Обычно ошибку допускают, перенося правила сложения чисел на обозначения букв. Проверьте результат: буквенную часть переписывают такой же, какой она была у каждого подобного слагаемого.
Для преобразований нужны умение соблюдать порядок действий, правила действий с положительными и отрицательными числами и распределительное свойство умножения. Если эти навыки знакомы, легче следить за знаками при раскрытии скобок. Упрощённые выражения помогают составлять записи для задач и решать уравнения. Позже тот же навык пригодится при изучении многочленов и формул сокращённого умножения.
Почему при раскрытии скобок после минуса меняются все знаки?
Минус перед скобками означает, что всё выражение в скобках вычитают. Вычитание суммы равносильно сложению противоположных слагаемых, поэтому знак меняется у каждого из них. Например, −(a − 3) = −a + 3.
Как понять, являются ли два слагаемых подобными?
Сравни их буквенные части: они должны совпадать. Например, 4x и −2x подобные, а 4x и 4y — нет. Числовые коэффициенты при этом могут быть разными.
Можно ли складывать слагаемые с разными буквами?
Слагаемые с разными буквенными частями нельзя объединить в одно подобное слагаемое. Например, 2x + 3y так и остаётся суммой двух слагаемых. Складывать можно только их числовые значения после подстановки конкретных чисел вместо букв.
Что делать, если перед скобками стоит числовой множитель?
Умножь этот множитель на каждое слагаемое в скобках, сохраняя знаки произведений. Например, 3(x − 2) = 3x − 6. После этого можно привести подобные слагаемые.
Как проверить, правильно ли упрощено выражение?
Подставь одно и то же значение буквы в исходное и упрощённое выражения, затем сравни результаты. Если они совпали, это полезная проверка, хотя для полной уверенности можно проверить и другим значением. Также проверь раскрытие скобок и коэффициенты при подобных слагаемых.
Преобразование буквенных выражений
