"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Раскрытие скобок — способ заменить выражение равным ему выражением без скобок. Это помогает упростить буквенные выражения, привести подобные слагаемые и решать уравнения. Главное правило связано с распределительным свойством умножения: множитель перед скобками нужно умножить на каждое слагаемое внутри. Если перед скобками стоит минус, знаки всех слагаемых меняются, потому что минус означает умножение на −1.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Раскрытие скобок — преобразование выражения в равное ему выражение без скобок. Например, запись 2(a + b) можно заменить на 2a + 2b. Значения выражений при любых допустимых значениях букв остаются одинаковыми. Такое преобразование основано на свойствах арифметических действий.
Распределительное свойство умножения относительно сложения — правило, по которому множитель умножают на каждое слагаемое в скобках: k(a + b) = ka + kb. То же правило действует при вычитании: k(a − b) = ka − kb. Оно объясняет, почему нельзя умножить внешний множитель только на одно слагаемое.
Противоположные числа — числа, сумма которых равна нулю: например, 5 и −5. У каждого числа есть противоположное, а умножение на −1 как раз даёт это противоположное число. Поэтому понятие противоположных чисел помогает понять, почему минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри.
Если перед скобками стоит положительный множитель, применяем распределительное свойство: умножаем его на каждое слагаемое. Например, 3(a + 4) = 3a + 12, потому что произведение 3 на сумму равно сумме произведений. При вычитании второй член сохраняет свой знак: 3(a − 4) = 3a − 12. Так мы заменяем одно выражение другим, не меняя его значения.
Минус перед скобками можно записать как множитель −1: −(a + b) = (−1)(a + b). По распределительному свойству получаем (−1)a + (−1)b, то есть −a − b. В записи −(a − b) результат будет −a + b, поскольку −1 умножается и на a, и на −b. Поэтому знаки меняются у всех слагаемых, а не только у первого.
Если перед скобками стоит коэффициент, отличный от 1 или −1, он тоже умножается на каждое слагаемое. Например, 4(2x − 3) = 8x − 12: коэффициент 4 умножили и на 2x, и на −3. Когда коэффициент отрицательный, нужно учесть знак каждого произведения: −2(x + 5) = −2x − 10. Удобно выполнять умножения отдельно, чтобы не потерять знак.
Когда в выражении несколько скобок, сначала раскрывают каждую, не пропуская стоящие перед ней знаки и множители. Затем собирают подобные слагаемые — те, у которых одинаковая буквенная часть, например 3x и −x. Их коэффициенты складывают, а буквенную часть оставляют: 3x − x = 2x. Не складывайте между собой слагаемые с разными буквенными частями, например x и y.
Преобразование можно проверить, раскрыв скобки в обратном направлении: например, сгруппировать слагаемые и вынести общий множитель. Ещё один способ — подставить вместо переменной одно и то же число в исходное и полученное выражения. Если значения совпали, это подтверждает вычисление для выбранного числа, хотя проверка одним числом не заменяет правильного рассуждения. При сомнении проверьте каждое умножение и знак отдельно.
| Что стоит перед скобками | Как преобразовать | Пример |
|---|---|---|
| Знак плюс | Опустить скобки, сохранив знаки слагаемых | +(a − b) = a − b |
| Знак минус | Опустить скобки и изменить знак каждого слагаемого | −(a − b) = −a + b |
| Множитель | Умножить его на каждое слагаемое в скобках | k(a + b) = ka + kb |
Сначала найдите, что именно стоит перед скобками: плюс, минус или множитель. Если перед ними стоит минус, считайте, что это множитель −1, и меняйте знаки всех слагаемых. Если есть другой множитель, умножьте на него каждое слагаемое внутри.
Условие: раскройте скобки: +(3x − 5). Перед скобками стоит знак плюс, поэтому нужно определить, изменятся ли знаки слагаемых. Плюс не меняет значения выражения внутри скобок.
Ответ: 3x − 5. Здесь не нужно умножать слагаемые на отдельный коэффициент: знак плюс перед скобками только показывает, что знаки внутри сохраняются.
Условие: раскройте скобки и упростите −(2a − 7) + 3a. Перед скобками стоит минус, значит, каждое слагаемое внутри получит множитель −1. После этого останутся слагаемые с a, которые можно объединить.
Ответ: a + 7. Сначала раскрыли скобки, и только затем привели подобные слагаемые; именно такой порядок помогает не потерять знак.
Условие: раскройте скобки и упростите 4(2x − 3) − 2(x + 5). Здесь два множителя: первый равен 4, а перед второй скобкой стоит −2. Удобно раскрыть скобки по очереди, сохраняя каждое произведение со своим знаком.
Ответ: 6x − 22. Минус перед второй скобкой учтён в множителе −2, поэтому знаки обоих произведений во второй части отрицательные.
Одна частая ошибка — изменить знак только у первого слагаемого после минуса перед скобками. Так происходит, когда знак минус воспринимают как знак отдельного числа, а не как множитель для всего выражения. Нужно распределить −1 на каждое слагаемое, например −(a − b) = −a + b. Проверьте, что знак изменён у каждого члена скобок.
Другая ошибка — умножить внешний множитель только на первое слагаемое. Ученик может остановиться после первого произведения и забыть о втором слагаемом. Распределительное свойство требует умножить множитель на каждый член: 3(a + b) = 3a + 3b. Для самопроверки отметьте отдельное произведение для каждого слагаемого в скобках.
При умножении отрицательных чисел иногда неверно определяют знак произведения. Например, −2 · (−3) = 6, а −2 · 3 = −6: одинаковые знаки дают положительное произведение, разные — отрицательное. Ошибку допускают, если выполняют умножение и раскрытие скобок одновременно и торопятся. Сначала определите знак множителей, затем вычислите произведение.
Иногда считают, что минус меняет знаки только тогда, когда перед скобками нет числового множителя. Но выражение −(a + b) означает (−1)(a + b), поэтому минус и есть множитель, который нужно распределить. Если стоит −3(a + b), умножаем на −3 оба слагаемых. Проверяйте, что учтён весь внешний коэффициент, включая его знак.
Для раскрытия скобок нужно знать распределительное свойство умножения и правила действий с положительными и отрицательными числами: без них трудно правильно определить знаки произведений. После раскрытия часто требуется привести подобные слагаемые, чтобы упростить буквенное выражение. Этот приём используется при решении уравнений, когда нужно преобразовать обе части записи. Он также помогает упрощать выражения с несколькими скобками.
Почему при раскрытии скобок с минусом меняются знаки всех слагаемых?
Минус перед скобками означает умножение всего выражения внутри на −1. При умножении на −1 каждое слагаемое становится противоположным, поэтому меняются знаки всех слагаемых, а не только первого.
Нужно ли умножать внешний множитель на каждое слагаемое?
Да, множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. Это следует из распределительного свойства: k(a + b) = ka + kb.
Что делать, если перед скобками стоит знак плюс?
Скобки можно убрать, оставив знаки слагаемых без изменений. Например, +(a − b) = a − b.
В каком порядке упрощать выражение с несколькими скобками?
Сначала раскройте каждую скобку, учитывая знак или множитель перед ней. Затем приведите подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Можно раскрыть скобки в полученном выражении обратным действием и проверить, вернулась ли исходная запись. Ещё один способ — подставить одно и то же число вместо переменной и сравнить значения исходного и преобразованного выражений.
Раскрытие скобок
