"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть, поэтому их можно объединить: сложить или вычесть их числовые множители и оставить буквы без изменений. Например, 3a + 5a = 8a. Это правило помогает записывать выражения короче и проще выполнять преобразования, в том числе при раскрытии скобок и решении уравнений. Главное — точно сравнивать буквенные части, учитывать знаки и не объединять разные буквы или степени.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Буквы и показатели их степеней должны совпадать полностью: 3x²y и −5x²y подобны, а 3xy и 5x²y — нет. Это определение помогает понять, какие части выражения можно объединять.
Буквенная часть — произведение букв и их степеней в слагаемом. Чтобы её выделить, отдели числовой множитель: в −7a²b коэффициент −7, а буквенная часть a²b. Сравнение именно буквенных частей позволяет не спутать похожие на вид, но разные слагаемые.
Коэффициент слагаемого — его числовой множитель, включая знак. Если число перед буквами не записано, коэффициент равен 1: например, у x коэффициент 1. У слагаемого −x коэффициент −1, поэтому знак минус нельзя терять при вычислениях.
Приведение подобных слагаемых — замена нескольких подобных слагаемых одним слагаемым с той же буквенной частью. Например, 2a + 4a можно заменить на 6a. Это действие сокращает запись выражения, не меняя его значения.
Подобные слагаемые можно складывать и вычитать, потому что в каждом из них повторяется одна и та же буквенная часть. Например, 3a означает три слагаемых a, а 5a — пять таких же слагаемых. Вместе получается восемь слагаемых a, то есть 3a + 5a = 8a. Числа показывают, сколько одинаковых частей взято, поэтому складываются именно они.
Чтобы привести подобные слагаемые, сначала найди слагаемые с одинаковой буквенной частью. Затем сложи их коэффициенты и запиши результат перед прежней буквенной частью. Так, 4x + 2x = (4 + 2)x = 6x. Буквы не меняются, потому что складываются не разные выражения, а количества одинаковой части.
Знак слагаемого входит в его коэффициент. Поэтому выражение 7x − 3x можно представить как 7x + (−3x), а коэффициенты — как 7 и −3. Их сумма равна 4, значит, результат — 4x. Такой способ особенно полезен, когда в выражении есть вычитание или слагаемые записаны с минусом.
Подобие определяется буквенной частью, а не значением коэффициента. Поэтому 4ab и −2ab подобны: у обоих частей буквенная запись ab. А 4a и 4a² не подобны, хотя их коэффициенты одинаковы, ведь показатели степени у букв различаются. Сравнивай буквы и степени, а числа рассматривай отдельно.
Если в выражении несколько групп слагаемых, каждую группу приводят отдельно. Например, слагаемые с x объединяют между собой, слагаемые с y — между собой, а числа без букв складывают отдельно. Объединять части с разными буквенными записями нельзя: 2a и 3b остаются разными слагаемыми. Такая группировка помогает не пропустить ни один член выражения.
В таблице показано, что сравнивать и как действовать в разных случаях. Сначала найди буквенную часть каждого слагаемого, затем выбери подходящую строку. При вычислении обязательно учитывай знак коэффициента.
| Случай | Что сравнить | Как выполнить действие | Пример |
|---|---|---|---|
| Одинаковая буквенная часть | Буквы и их показатели степеней | Сложить коэффициенты, буквенную часть сохранить | 3a + 5a = 8a |
| Разные буквенные части | Совпадают ли буквы и степени полностью | Не объединять слагаемые | 2a + 3b остаётся 2a + 3b |
| Коэффициент не записан явно | Есть ли числовой множитель перед буквой | Считать коэффициент равным 1 | a + 4a = 5a |
| Перед слагаемым стоит минус | Знак коэффициента | Записать коэффициент со знаком минус | 7x − 3x = 4x |
| В выражении несколько групп подобных слагаемых | Буквенную часть каждого слагаемого | Привести отдельно каждую группу и числа | 2x + y − x = x + y |
Задача 1. Приведите подобные слагаемые: 6x + 2x. Оба слагаемых содержат одну и ту же буквенную часть x, поэтому их можно объединить. Нужно сложить числовые множители, сохранив x.
Ответ: 8x. Проверка: результат означает восемь одинаковых частей x, что соответствует шести таким частям и ещё двум.
Задача 2. Упростите выражение: 5a − 8a + 3. Слагаемые 5a и −8a имеют одинаковую буквенную часть, а число 3 не содержит букв. Поэтому сначала объединим слагаемые с a, а число оставим отдельно.
Ответ: −3a + 3. Число 3 нельзя объединить с −3a, потому что у них разные буквенные части.
Задача 3. Приведите подобные слагаемые: 4x + 3y − 2x + 5 − y − 7. Здесь есть три группы: слагаемые с x, слагаемые с y и числа. Объединим каждую группу отдельно, чтобы не складывать части с разными буквами.
Ответ: 2x + 2y − 2. Все три части оставлены раздельно, так как их буквенные части различаются.
Первая ошибка — складывать слагаемые с разными буквенными частями, например 2a и 3b, ориентируясь только на коэффициенты. Так делают, потому что числа 2 и 3 удобно сложить, но буквы a и b обозначают разные части. Проверь себя: совпадают ли буквы и их степени? Если нет, слагаемые нужно оставить раздельно.
Вторая ошибка — не учитывать показатели степеней и считать 3x и 2x² подобными. Буквенные части x и x² различаются, потому что во втором слагаемом у x вторая степень. Сравнивай не только сами буквы, но и все показатели. Если хотя бы один показатель не совпадает, объединять слагаемые нельзя.
Третья ошибка — потерять знак минус у коэффициента: например, получить 7x вместо 3x в выражении 7x − 4x. При вычитании коэффициент второго слагаемого равен −4, а не 4. Запиши действие как 7 + (−4) = 3 и проверь результат: вычитание положительного числа должно уменьшить коэффициент.
Четвёртая ошибка — прибавить буквенную часть к коэффициентам или изменить её, например записать 2x + 5x = 7. При приведении складывают только коэффициенты, а буквенная часть остаётся после результата: 2x + 5x = 7x. Проверка проста: подставь вместо x любое число — равенство без x обычно не сохранит значение выражения.
Для приведения подобных слагаемых нужно уметь складывать и вычитать положительные и отрицательные числа. Особенно важно правильно выполнять действия с отрицательными числами: коэффициент слагаемого может быть отрицательным. Также нужно уметь находить коэффициент, отделяя числовой множитель от буквенной части.
Приведение подобных слагаемых используют при упрощении буквенных выражений, в том числе после раскрытия скобок. Оно помогает сделать запись короче и увидеть, какие части выражения можно объединить. Это умение также применяется при решении уравнений, когда нужно упорядочить и упростить их части.
Как понять, являются ли два слагаемых подобными?
Сравни буквенные части целиком: должны совпадать все буквы и их показатели степеней. Числовые коэффициенты при этом могут быть разными.
Можно ли привести 3x и 3x²?
Нет, эти слагаемые не подобны. В первом буквенная часть x, а во втором x², поэтому объединять их нельзя.
Какой коэффициент у слагаемого −a?
Коэффициент равен −1. Перед буквой не записана цифра 1, но знак минус означает умножение на −1: −a = −1 · a.
Что делать, если в выражении есть несколько групп подобных слагаемых?
Сгруппируй слагаемые с одинаковыми буквенными частями и отдельно сложи коэффициенты в каждой группе. Числа без букв тоже объединяй между собой, а разные буквенные части оставляй раздельно.
Почему после приведения буквенная часть не меняется?
Подобные слагаемые состоят из одинаковых буквенных частей, поэтому меняется только количество таких частей. Например, 3a + 5a — это восемь слагаемых a, то есть 8a.
Приведение подобных слагаемых.
