"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Уравнение — это равенство, в котором есть переменная, и его решение помогает найти значения, при которых равенство верно. Чтобы решить уравнение, преобразуют его так, чтобы корни не изменились, а переменная оказалась отдельно. Прибавлять и вычитать одно и то же число можно в обеих частях; умножать и делить — тоже, если число не равно нулю. После упрощения уравнение может иметь один корень, не иметь корней или быть верным при любом значении переменной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, в котором есть переменная, например 3x − 5 = 10. В числовом равенстве переменной нет: например, 3 + 2 = 5 уже можно проверить, просто вычислив обе части. Уравнение нужно для описания ситуации, в которой неизвестное число должно удовлетворять заданному условию. Обычно переменную обозначают буквой x.
Корень уравнения — значение переменной, при котором равенство становится верным. Чтобы проверить число, его подставляют вместо переменной и вычисляют левую и правую части отдельно. Например, 5 — корень уравнения x + 2 = 7, потому что после подстановки получаем 5 + 2 = 7. Если части не равны, число корнем не является.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Нельзя остановиться после нахождения одного подходящего числа, если существуют и другие. Поэтому при решении важно не только получить ответ, но и понять, какие значения подходят. Иногда выясняется, что подходит любое число.
Равносильные уравнения — это уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, x + 3 = 8 и x = 5 равносильны: у каждого из них единственный корень 5. Это понятие важно, потому что при преобразованиях мы хотим упростить запись, не потеряв и не добавив корней. Если равносильность нарушена, ответ может стать неверным.
Проверка подстановкой показывает, подходит ли конкретное число, но сама по себе не всегда помогает найти все корни. Подставляют число вместо каждой переменной в исходное уравнение, затем отдельно считают левую и правую части. Если получились одинаковые числа, равенство верно и кандидат является корнем. Если результаты различаются, это число нужно исключить.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет равенство: если две величины равны, то после одинакового увеличения они остаются равными. По той же причине можно вычесть одно и то же число из обеих частей. Такие действия позволяют убрать лишнее слагаемое рядом с переменной. Например, из x + 5 = 12 вычитают 5 с обеих сторон и получают x = 7.
Умножение обеих частей на одно и то же число сохраняет равенство, потому что равные величины при одинаковом умножении остаются равными. Деление работает так же, если делитель не равен нулю: деление на ноль не определено. Это условие нужно соблюдать, иначе преобразование может потерять корни или привести к недопустимому действию. Например, из 4x = 20 можно разделить обе части на 4 и получить x = 5.
Раскрытие скобок заменяет произведение суммы на сумму произведений, а приведение подобных слагаемых объединяет слагаемые с одинаковой переменной. Так запись становится короче, и переменные можно собрать в одной части, а числа — в другой. В результате часто получается ax = b, где a и b — числа. Если переносить слагаемое, нужно помнить: это сокращённое описание прибавления или вычитания одного и того же числа в обеих частях.
В записи ax = b значение коэффициента a определяет, сколько решений возможно. Если a ≠ 0, обе части делят на a и находят единственный корень x = b/a. Если a = 0, переменная исчезает: при b ≠ 0 получается неверное равенство 0 = b, а при b = 0 — верное 0 = 0. Значит, в первом случае корней нет, а во втором подходит любое значение переменной.
| Преобразование | Что делают с обеими частями | Условие равносильности | К чему приводит |
|---|---|---|---|
| Прибавление или вычитание числа | Прибавляют или вычитают одно и то же число | Действие выполняют с обеими частями | Удобно убрать слагаемое |
| Умножение или деление на число | Умножают или делят обе части на одно число | При делении число не должно быть нулём | Можно изменить коэффициенты |
| Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых | Раскрывают скобки и объединяют подобные слагаемые | Соблюдают распределительное свойство и выполняют верные вычисления | Уравнение становится проще |
| Вид ax = b | Сравнивают коэффициенты a и b | a ≠ 0; либо a = 0 и b ≠ 0; либо a = 0 и b = 0 | Один корень; корней нет; любое число — корень |
Таблица помогает выбрать преобразование и заранее проверить, не нарушается ли равносильность. После упрощения сравните получившиеся a и b: именно от этого зависит число корней. Если при делении появляется выражение, а не число, сначала убедитесь, что оно не может быть нулём.
Нужно оставить слагаемое с x отдельно. Сначала устраним вычитание 5, прибавив 5 к обеим частям, а затем избавимся от коэффициента 3. Каждое действие выполняем одинаково слева и справа, поэтому корень не меняется.
Ответ: x = 5. Проверка подтверждает, что найденное значение подходит; поскольку после деления на ненулевое число получено одно значение x, других корней нет.
Сначала уберём скобки, чтобы увидеть все слагаемые. Затем соберём переменные в одной части, а числа — в другой. При каждом таком «переносе» выполняется одинаковое действие с обеими частями, поэтому меняется знак переносимого слагаемого.
Ответ: x = −1. Обе части исходного уравнения при подстановке дают −4. Значит, найденное число является корнем.
Здесь после упрощения переменные могут полностью сократиться. Это не означает, что мы потеряли решение: нужно посмотреть, какое равенство останется. Если оно верно, исходное уравнение выполняется для любого x, поскольку преобразования сохраняют множество корней.
Ответ: любое число. Равенство 0 = 0 верно при каждом значении переменной, а значит, корнями являются все числа.
При «переносе» слагаемого иногда оставляют прежний знак. Так делают, потому что запоминают короткое правило, но забывают действие за ним: чтобы убрать слагаемое, нужно вычесть его из обеих частей или прибавить противоположное число. Проверьте преобразование, записав действие над обеими частями. Например, из x + 4 = 9 следует x = 9 − 4, а не x = 9 + 4.
Другая ошибка — умножить или разделить только одну часть уравнения. Тогда равенство изменяется, поскольку его стороны обрабатываются по-разному. Чтобы проверить себя, поставьте действие под обеими частями и убедитесь, что оно одинаковое. При делении дополнительно проверьте, что делитель не равен нулю.
Нельзя без оговорки делить обе части на выражение с переменной: оно может оказаться равным нулю при одном из корней. Такое деление исключит этот случай, и часть решений потеряется. Ошибку предупреждает проверка выражения перед делением и отдельное рассмотрение его нулевого значения. Делить безопасно только на ненулевое число или выражение, которое точно не обращается в ноль.
Иногда записывают один найденный корень и сразу заканчивают решение. Но после упрощения может получиться противоречие, означающее отсутствие корней, или верное равенство, подходящее любому x. Поэтому смотрите на итоговую запись целиком: ax = b при a ≠ 0 даёт один корень, 0x = b при b ≠ 0 — ни одного, а 0x = 0 — все значения переменной. Это простой способ проверить, что ответ полный.
Для преобразования уравнений нужны навыки арифметических действий с рациональными числами: особенно важно не ошибаться со знаками и отрицательными числами. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых помогают упростить запись до вида, удобного для решения. Эти умения понадобятся и в текстовых задачах: уравнение позволяет перевести условие задачи на язык математики и найти неизвестную величину. Равносильные преобразования станут основой для решения более сложных уравнений.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
На самом деле слагаемое не перемещают само по себе: из обеих частей вычитают его или прибавляют к ним противоположное число. Поэтому знак слагаемого в новой записи меняется, а множество корней остаётся прежним. Например, из x + 5 = 9 получаем x = 9 − 5.
Можно ли делить обе части уравнения на выражение с переменной?
Только если известно, что это выражение не равно нулю для корней, которые рассматриваются. Если оно может обратиться в ноль, деление способно потерять корень или дать неверное преобразование. В таком случае нужно отдельно рассмотреть случай, когда выражение равно нулю.
Как понять, что уравнение имеет бесконечно много корней?
После упрощения должно получиться верное равенство, не зависящее от переменной, например 0x = 0 или 5 = 5. Тогда равенство выполняется при любом значении переменной. Значит, корней бесконечно много.
Что делать, если после преобразований получилось противоречивое равенство?
Противоречие — это неверное равенство, например 0 = 4. Если уравнение преобразовывали равносильно, исходное уравнение не имеет корней. Стоит проверить, не было ли ошибки в вычислениях и действительно ли каждое преобразование сохраняло корни.
Обязательно ли проверять найденный корень подстановкой?
Подстановка помогает убедиться, что найденное число действительно обращает исходное равенство в верное. Особенно полезно проверять ответ после длинных преобразований. Если преобразования выполнены правильно, проверка обычно подтверждает результат, но не заменяет поиск всех корней.
Решение по теме: Уравнения
