"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Уравнение помогает найти неизвестную величину, когда в задаче известны связи между числами. Нужно обозначить неизвестное буквой, выразить через неё остальные величины и записать равенство, которое отражает условие. Решив уравнение, мы получаем возможное значение неизвестного. Но на этом решение не заканчивается: результат проверяют по самому уравнению и по смыслу задачи, а затем записывают ответ на поставленный вопрос.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное значение, которое требуется найти. Неизвестное обычно обозначают буквой, например x. Уравнение нужно, чтобы коротко записать связь между величинами и найти число, при котором эта связь выполняется.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Например, число 4 — корень уравнения x + 2 = 6, потому что 4 + 2 = 6. Понятие корня помогает проверить, действительно ли найденное число решает уравнение.
Задача на составление уравнения — задача, условие которой переводят в уравнение, чтобы найти неизвестную величину. Сначала текст описывает ситуацию словами, а затем её связи записывают с помощью буквы и равенства. Такой способ особенно удобен, когда неизвестные величины связаны между собой.
Математическая модель задачи — запись условий задачи с помощью величин, выражений и уравнения. Например, если длина на 3 см больше ширины x, то её можно представить выражением x + 3. Модель нужна, чтобы перейти от текста к вычислениям и увидеть, какие данные связаны друг с другом.
Сначала выбери неизвестную величину и обозначь её буквой. Часто удобно обозначить именно то, о чём спрашивают, но иногда проще выбрать другую величину, если через неё легче выразить остальные. Например, если одна длина на несколько сантиметров больше другой, можно начать с меньшей: тогда большую легко записать через неё. Подпиши смысл буквы, чтобы не перепутать величины при составлении уравнения и проверке.
Затем переведи словесные отношения в выражения. Фраза «на 5 больше» означает прибавить 5: если исходная величина равна x, получится x + 5; фраза «на 5 меньше» даёт x − 5. Слова «в 3 раза больше» означают умножить на 3, поэтому получится 3x, а «в 3 раза меньше» — разделить на 3, то есть x / 3. Это различие важно: слова «на» говорят о прибавлении или вычитании, а «в несколько раз» — об умножении или делении.
Чтобы составить уравнение, найди в условии связь между величинами и запиши её равенством. Например, если известен периметр прямоугольника, нужно приравнять выражение для периметра к его значению. Не каждое число из текста становится отдельной частью уравнения: сначала выясни, какие именно величины сравниваются, складываются или должны оказаться равными. Тогда обе части уравнения будут описывать одну и ту же связь.
Решение задачи состоит из нескольких шагов: составь уравнение, реши его и проверь полученное значение. Решение уравнения даёт значение неизвестного, но нужно ещё ответить на вопрос задачи: например, если спрашивали две стороны, одной найденной ширины недостаточно — следует вычислить и длину. Проверка подстановкой показывает, верно ли решено уравнение. После неё сформулируй ответ словами и укажи единицы измерения, если они нужны.
Проверка должна учитывать и смысл условия, потому что корень уравнения не всегда подходит к исходной ситуации. Например, отрицательное число может быть корнем уравнения, но не может обозначать количество карандашей или длину стороны. Сравни найденное значение с ограничениями задачи: величина должна быть допустимой, а полученные данные — удовлетворять исходным отношениям. Если смысл не совпадает, проверь выбор неизвестного и составление уравнения.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Выбор неизвестного | Обозначить буквой величину, которую нужно найти. | Записать, что именно означает буква и в каких единицах измеряется величина. |
| Выражение остальных величин | Записать остальные величины через выбранное неизвестное. | Верно истолковать слова «на несколько» и «в несколько раз». |
| Составление уравнения | Записать равенство, которое отражает связь из условия. | Убедиться, что обе части описывают одну и ту же величину или отношение. |
| Решение уравнения | Найти значение неизвестного по правилам решения уравнений. | Выполнять равносильные преобразования и не терять корень. |
| Проверка и ответ | Проверить найденное значение и ответить на вопрос задачи. | Оценить, подходит ли результат по смыслу, и записать единицы измерения. |
Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, когда ясно, что выполнено на предыдущем. Если ответ не подходит по смыслу, вернись к тому шагу, на котором могла появиться ошибка. Такая проверка помогает заметить неверное выражение или связь ещё до того, как будет записан окончательный ответ.
Задача 1. Если к задуманному числу прибавить 7, а результат удвоить, получится 30. Найдите задуманное число.
1. Обозначим задуманное число через x. После прибавления 7 получится x + 7, а удвоение всего результата записывается как 2(x + 7).
2. По условию это выражение равно 30, поэтому составляем уравнение: 2(x + 7) = 30.
3. Делим обе части на 2: x + 7 = 15, затем вычитаем 7: x = 8.
4. Проверяем: 2(8 + 7) = 30. Задуманное число удовлетворяет условию.
Ответ: 8.
Задача 2. Длина прямоугольника на 3 см больше ширины, а его периметр равен 34 см. Найдите стороны прямоугольника.
1. Обозначим ширину через x см. Тогда длина равна x + 3 см, потому что она на 3 см больше.
2. Периметр складывается из двух ширин и двух длин, поэтому получаем уравнение 2x + 2(x + 3) = 34.
3. Раскрываем скобки: 2x + 2x + 6 = 34, откуда 4x = 28 и x = 7. Значит, ширина равна 7 см, а длина — 7 + 3 = 10 см.
4. Проверяем периметр: 2 · 7 + 2 · 10 = 34 см; обе стороны положительны.
Ответ: ширина 7 см, длина 10 см.
Задача 3. В первой коробке в 2 раза больше карандашей, чем во второй. Если переложить из первой коробки во вторую 6 карандашей, в обеих коробках станет поровну. Сколько карандашей было в каждой коробке?
1. Обозначим количество карандашей во второй коробке через x. Тогда в первой было 2x.
2. После перекладывания в первой останется 2x − 6 карандашей, а во второй станет x + 6. По условию эти количества равны: 2x − 6 = x + 6.
3. Вычитаем x и прибавляем 6 к обеим частям: x = 12. Во второй коробке было 12 карандашей, в первой — 2 · 12 = 24.
4. Проверяем: после переноса в обеих коробках будет по 18 карандашей, значит, условие выполняется.
Ответ: в первой коробке было 24 карандаша, во второй — 12.
Первая ошибка — обозначить буквой величину, но не пояснить её смысл. Тогда легко перепутать, что именно нужно прибавлять или отнимать, а при проверке непонятно, отвечает ли найденное число на вопрос. Так бывает, когда ученик спешит сразу записать уравнение. Запиши рядом с буквой название величины и единицы измерения, а в конце проверь, что ответ относится именно к ней.
Вторая ошибка — смешивать выражения «на несколько больше» и «в несколько раз больше». Например, «на 3 больше x» — это x + 3, а «в 3 раза больше x» — 3x. Путаница возникает потому, что обе фразы сравнивают величины, но описывают разные действия. Проверь выражение вопросом: нужно прибавить число или умножить исходную величину?
Третья ошибка — составлять уравнение по отдельным словам, не выяснив связь между величинами. В результате можно приравнять выражения, которые относятся к разным частям условия, например ширину и периметр. Такая запись кажется подходящей, если в ней использованы все числа из текста, но этого недостаточно. Перед записью равенства назови словами, что выражает его левая часть и что — правая, и убедись, что они должны быть равны.
Четвёртая ошибка — остановиться после нахождения корня и не проверить задачу. Корень может быть найден верно, но не отвечать на вопрос или противоречить смыслу ситуации. Это происходит, если решение уравнения принимают за готовый ответ. Подставь значение в уравнение, восстанови условия задачи и проверь допустимость результата; затем запиши ответ именно в той форме, которую требует вопрос.
Для составления и решения задач с уравнениями нужно уметь решать линейные уравнения и выполнять действия с буквенными выражениями. При задачах о прямоугольниках пригодятся формулы периметра: например, P = 2a + 2b. Эти знания помогают не только составить модель, но и правильно выполнить вычисления после её составления.
Тот же способ применяют в задачах на движение, проценты, отношения и совместную работу. В каждом случае выбирают неизвестную величину, выражают через неё остальные данные и записывают связь в уравнении. Отличаются ситуации и используемые формулы, но общий порядок решения остаётся тем же.
Как выбрать неизвестное в задаче?
Выбери величину, которую требуется найти, или ту, через которую проще выразить остальные данные. Обязательно запиши, что именно обозначает буква, и укажи единицы измерения, если они есть.
Как перевести слова «на несколько больше» в выражение?
Если одна величина равна x, то величина на 5 больше неё записывается как x + 5. Для слов «на 5 меньше» записывают x − 5.
Чем отличаются выражения «в 3 раза больше» и «на 3 больше»?
«В 3 раза больше» означает умножить на 3: если исходная величина равна x, получится 3x. «На 3 больше» означает прибавить 3: получится x + 3.
Как понять, какое равенство записать в уравнении?
Найди в условии связь, которая должна выполняться одновременно для выраженных величин: например, что их сумма равна известному числу. Запиши эту связь знаком равенства и проверь, описывают ли обе части уравнения именно её.
Почему найденный корень нужно проверять по условию задачи?
Корень может подходить к уравнению, но не иметь смысла в задаче: например, количество предметов не может быть отрицательным. Проверка по условию помогает убедиться, что значение отвечает вопросу и имеет подходящие единицы.
Решение задач на составление уравнений
