"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Задачи на движение помогают находить скорость, время или расстояние, если известны другие данные и связь между участниками движения. Главная формула — s = vt: путь равен скорости, умноженной на время. По условию задачи составляют уравнение, решают его и проверяют, подходит ли результат к ситуации. Особенно важно правильно учесть направление движения, разный момент старта и единицы измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скорость — расстояние, которое тело проходит за единицу времени; обычно её обозначают буквой v. Например, скорость 12 км/ч означает, что за час участник проходит 12 километров. Скорость показывает, как быстро меняется положение тела, и помогает сравнивать движение участников.
Время движения — продолжительность движения, его обозначают буквой t. Если известны путь и скорость, время находят делением пути на скорость: t = s/v. Это удобно, когда в задаче нужно выяснить, сколько часов или минут участник затратил на дорогу.
Путь — расстояние, пройденное телом; его обозначают буквой s. Чтобы найти путь, скорость умножают на время: s = vt. Формула позволяет выразить расстояние, которое каждый участник преодолел к заданному моменту.
Скорость сближения — скорость, с которой уменьшается расстояние между телами. При движении навстречу она равна сумме скоростей участников. Эта величина помогает определить, как быстро они встретятся или догонят друг друга.
Формула s = vt связывает три главные величины, потому что путь складывается из одинаковых отрезков, проходимых за равные промежутки времени. Если за каждый час тело проходит v километров, то за t часов оно проходит t таких отрезков. Поэтому умножение скорости на время даёт весь путь. Перед вычислениями нужно согласовать единицы: при скорости в км/ч время выражают в часах, а путь получают в километрах.
Из формулы можно получить выражения для любой неизвестной величины: t = s/v, а v = s/t. Выбирая неизвестное для уравнения, сначала реши, какую величину проще выразить через известные данные. Затем запиши путь каждого участника как произведение его скорости на время движения. Уравнение появляется тогда, когда эти выражения связывает условие, например сумма путей равна расстоянию между пунктами.
При движении навстречу участники одновременно уменьшают одно и то же расстояние: каждый проходит часть пути в сторону другого. Поэтому за час расстояние между ними сокращается на сумму пройденных за этот час путей, то есть на сумму скоростей. Если участники движутся в одном направлении, более быстрый догоняет медленного лишь за счёт разницы их путей за час. Значит, скорость сближения в этом случае равна разности скоростей, если догоняющий едет быстрее.
Иногда удобнее выразить пути обоих участников через одну неизвестную величину, например через время после старта второго. Тогда у каждого участника появляется понятное выражение: скорость умножается на его собственное время движения. Связь между путями берут из условия: при встрече навстречу сумма путей равна начальному расстоянию, а при догонке разность путей компенсирует фору. Такой способ помогает не путать, какой путь прошёл каждый участник.
После решения уравнения найденное число нужно вернуть в условие и проверить его смысл. Время и скорость не должны быть отрицательными, а единицы должны соответствовать данным задачи. Полезно вычислить пути участников и проверить, что их сумма или разность действительно даёт нужное расстояние. Такая проверка обнаруживает ошибки в уравнении, вычислениях и учёте задержки старта.
| Ситуация | Скорость сближения | Связь между путями |
|---|---|---|
| Движение навстречу друг другу | v₁ + v₂ | Сумма путей равна начальному расстоянию при встрече. |
| Движение в одном направлении, догоняющий быстрее | v₁ − v₂ | Путь догоняющего компенсирует фору и сравнивается с путём медленного. |
| Движение в одном направлении, расстояние между телами увеличивается | Разность скоростей по модулю | Разность путей показывает, насколько увеличилось расстояние. |
Сначала определи направление движения и выясни, расстояние между участниками уменьшается или увеличивается. Для встречи навстречу складывай пути, а для догонки учитывай начальную фору. Если расстояние растёт, сравнивай пути так, чтобы их разность показывала увеличение расстояния.
Из двух пунктов, расстояние между которыми 90 км, одновременно навстречу друг другу выехали велосипедисты со скоростями 12 км/ч и 18 км/ч. Нужно узнать время до встречи. Обозначим через x число часов движения до встречи. За это время оба участника вместе преодолеют всё расстояние между пунктами.
Ответ: через 3 часа.
Автомобиль выехал со скоростью 60 км/ч, а автобус со скоростью 75 км/ч отправился вслед за ним через 2 часа. Найдём, сколько времени автобус будет ехать до догонки. Обозначим это время через x часов и сначала учтём фору автомобиля: к выезду автобуса он уже проехал 60 · 2 = 120 км.
Ответ: через 8 часов после выезда автобуса.
Катер прошёл 36 км по течению и 24 км против течения за 5 часов. Скорость течения — 2 км/ч. Обозначим собственную скорость катера через x км/ч. По течению вода помогает катеру, поэтому его скорость относительно берега равна x + 2, а против течения — x − 2.
Ответ: 6 + 4√2 км/ч, примерно 11,7 км/ч.
При движении в одном направлении иногда складывают скорости, хотя для догонки расстояние сокращается только на разность скоростей. Такая ошибка появляется, если не проследить, как меняется промежуток между участниками за час. Нарисуй направление движения и сравни пройденные за час пути: быстрый должен пройти больше медленного.
Некоторые приравнивают скорости вместо путей или времён. Но равными нужно записывать именно те величины, которые связаны условием: например, при встрече сумма путей равна расстоянию между пунктами. Ошибка возникает, когда формулу выбирают по словам «движутся одновременно», не выяснив, что именно должно совпасть. Перед решением сформулируй связь обычными словами и только потом запиши уравнение.
Если один участник выехал раньше, нельзя считать, что оба начали с одинакового расстояния. Задержку старта часто забывают, потому что начинают записывать выражения сразу, не выделив начальную ситуацию. Найди фору по формуле s = vt и добавь её к пути того, кто стартовал первым. Проверка путей к моменту встречи покажет, правильно ли она учтена.
Ещё одна ошибка — смешивать километры с метрами или часы с минутами в одном уравнении. Так происходит, когда данные подставляют без предварительного перевода. Приведи все величины к согласованным единицам и проверь, что размерность результата подходит: например, километры, делённые на км/ч, дают часы.
Для решения таких задач нужно уверенно пользоваться формулой s = vt, выражать из неё скорость или время и переводить единицы измерения. Также пригодится умение составлять и решать линейные уравнения по текстовому условию. Похожий подход используют в задачах на совместную работу, где вместо путей рассматривают объём работы и производительность. Движение по реке — ещё один пример: к собственной скорости катера прибавляют скорость течения или вычитают её.
Как понять, какую величину удобнее обозначить за x?
Выбирай неизвестную, через которую проще выразить остальные величины и составить уравнение. Часто удобно обозначить за x время движения или скорость, которую требуется найти. Проверь, чтобы выражения для пути и времени соответствовали условию.
Почему при движении навстречу скорости складываются?
За один и тот же час первый участник проходит часть расстояния навстречу второму, и второй тоже проходит часть ему навстречу. Поэтому расстояние между ними уменьшается на сумму этих путей. Значит, скорость сближения равна сумме скоростей.
Как составить уравнение, если участники выехали не одновременно?
Сначала выясни, какое расстояние успел пройти тот, кто стартовал раньше. Его путь можно найти по формуле s = vt и учесть как фору или как часть начального расстояния. Затем вырази, сколько каждый проедет после старта второго, и запиши условие встречи.
Что делать, если в задаче даны разные единицы измерения?
До составления уравнения приведи величины к согласованным единицам. Например, скорость в километрах в час сочетай с расстоянием в километрах, а время выражай в часах. Минуты переводи в часы, а метры — в километры, если это удобнее.
Как проверить ответ в задаче на движение?
Подставь найденное значение в выражения для пути, скорости или времени и проверь, выполняется ли исходное условие. Убедись, что время и скорость положительны и что единицы измерения согласованы. Если получилось невозможное для ситуации значение, проверь уравнение и вычисления.
Решение задач на движение с помощью уравнений
