"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Квадрат суммы и квадрат разности — это двучлены в скобках, возведённые в квадрат. Для их преобразования используют формулы: (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)² = a² − 2ab + b². В каждой формуле крайние слагаемые — квадраты, а среднее — удвоенное произведение. Эти равенства помогают быстро раскрывать скобки, упрощать выражения и узнавать квадрат двучлена среди многочленов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — выражение вида (a + b)². В квадрат возводится вся сумма, заключённая в скобки: это значит, что (a + b) умножают на (a + b), а не просто отдельно возводят a и b в квадрат. Такое обозначение помогает увидеть, что между слагаемыми есть дополнительное произведение.
Квадрат разности — выражение вида (a − b)². Здесь в квадрат возводится вся разность, то есть произведение (a − b) на саму себя. Скобки показывают, что знак минус относится к b внутри разности, а не превращает квадрат второго слагаемого в отрицательное число.
Формула квадрата суммы записывается так: (a + b)² = a² + 2ab + b². Члены a² и b² называют квадратами слагаемых, а 2ab — удвоенным произведением a и b. Формула нужна, чтобы раскрыть квадрат суммы без повторного перемножения скобок.
Формула квадрата разности имеет вид (a − b)² = a² − 2ab + b². Средний член здесь отрицательный, потому что при раскрытии скобок два смешанных произведения имеют знак минус. Последний член всё равно равен b²: квадрат второго слагаемого положителен.
Чтобы получить формулу квадрата суммы, заменим квадрат произведением одинаковых скобок: (a + b)² = (a + b)(a + b). По распределительному свойству умножения перемножаем каждый член первой скобки с каждым членом второй и получаем a² + ab + ab + b². Два средних слагаемых одинаковы, поэтому ab + ab = 2ab, и выходит a² + 2ab + b². Так видно, откуда берётся удвоенное произведение.
Квадрат разности тоже раскрываем как произведение одинаковых скобок: (a − b)² = (a − b)(a − b). Перемножение даёт a² − ab − ab + b², поскольку оба смешанных произведения содержат один множитель со знаком минус. Складывая их, получаем −ab − ab = −2ab. Поэтому средний член отрицательный, а последний положительный: (−b)(−b) = b².
Сравнение формул помогает не перепутать знаки: крайние члены у квадрата суммы и квадрата разности одинаковы — a² и b². Отличается только средний член, который равен удвоенному произведению. Если в скобках стоит плюс, в результате перед 2ab тоже плюс; если стоит минус, перед 2ab будет минус. Именно знак между исходными слагаемыми подсказывает знак середины.
Буквы a и b могут обозначать не только отдельные числа, но и переменные или целые выражения. Например, в (3a − 2b)² роль первого слагаемого играет 3a, а второго — 2b. При подстановке нужно возвести в квадрат каждое слагаемое целиком: (3a)² = 9a², а (2b)² = 4b². Средний член находят как удвоенное произведение этих же слагаемых.
Формулу квадрата суммы можно представить геометрически. Возьмём квадрат со стороной a + b и разделим каждую сторону на части длиной a и b; получатся четыре прямоугольные области площадей a², ab, ab и b². Площадь большого квадрата равна сумме площадей частей, то есть a² + ab + ab + b². Два одинаковых прямоугольника дают 2ab, поэтому общая площадь равна a² + 2ab + b².
| Выражение | Равносильная запись | Средний член |
|---|---|---|
| Квадрат суммы (a + b)² | a² + 2ab + b² | +2ab |
| Квадрат разности (a − b)² | a² − 2ab + b² | −2ab |
| Знак между квадратами слагаемых | В обеих формулах между a² и b² стоит плюс | Не зависит от знака в скобках |
| Знак удвоенного произведения | Совпадает со знаком между слагаемыми в скобках | +2ab или −2ab |
Чтобы раскрыть скобки, сначала определите, сумма это или разность, а затем выберите подходящую строку. Проверьте, что квадраты слагаемых стоят по краям, а средний член содержит множитель 2. Таблица также помогает восстановить исходный двучлен по готовому трёхчлену.
Задача 1. Раскройте скобки: (x + 5)². В скобках стоит сумма, поэтому используем формулу квадрата суммы и считаем x первым слагаемым, а 5 — вторым. Чтобы не пропустить средний член, отдельно найдём удвоенное произведение этих слагаемых. Затем запишем результат в виде многочлена.
Ответ: x² + 10x + 25.
Задача 2. Раскройте скобки: (3a − 2b)². Это квадрат разности, где слагаемые — 3a и 2b. Каждый член в формуле нужно подставить целиком, поэтому крайние части будут (3a)² и (2b)². Средний член равен −2 · 3a · 2b, так как в скобках стоит минус.
Ответ: 9a² − 12ab + 4b².
Задача 3. Представьте многочлен 4x² − 12xy + 9y² в виде квадрата двучлена. Проверим признаки формулы: первый член 4x² — квадрат 2x, последний 9y² — квадрат 3y. Удвоенное произведение этих корней равно 2 · 2x · 3y = 12xy, что совпадает с модулем среднего члена. Поскольку средний член отрицательный, нужен квадрат разности.
Ответ: (2x − 3y)².
Ошибка: записать (a + b)² = a² + b². При таком преобразовании теряется средний член, потому что раскрытие скобок даёт ещё два произведения ab. Ученик может забыть о них, если ошибочно возводит в квадрат каждое слагаемое отдельно. Проверка: раскройте скобки как (a + b)(a + b) и убедитесь, что в ответе есть 2ab.
Ошибка: поставить минус перед b² в формуле квадрата разности. Знак минус относится к среднему члену, а последний член получается из произведения (−b)(−b). Чтобы проверить знак, вспомните: произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому результатом будет b².
Ошибка: записать средний член как ab вместо 2ab. Так происходит, если при раскрытии скобок замечают только одно смешанное произведение, хотя таких произведений два. Проверка проста: перемножьте скобки полностью и сложите оба средних члена, например ab + ab = 2ab.
Ошибка: при возведении двучлена в квадрат не возвести целиком числовой коэффициент, например считать, что (3a)² = 3a². В квадрат нужно возвести и число, и букву: (3a)² = 3² · a² = 9a². Проверяйте каждый член отдельно и не забывайте, что квадрат коэффициента тоже входит в результат.
Перед изучением формул полезно уметь возводить одночлены в квадрат и раскрывать скобки по распределительному свойству умножения. Эти действия объясняют, как появляются крайние и средний члены формул. Если они знакомы, вывод равенств становится понятным, а не сводится к запоминанию.
Формулы применяют при тождественных преобразованиях многочленов — заменах выражения на равное ему. Они помогают быстрее раскрывать скобки и упрощать алгебраические выражения. Вместо долгого перемножения двух одинаковых двучленов можно сразу использовать готовое равенство.
Обратное умение — узнавать квадрат двучлена в многочлене — пригодится при разложении на множители. Это также помогает преобразовывать уравнения и находить удобную форму выражения. Для проверки достаточно сопоставить крайние квадраты со средним удвоенным произведением.
Почему в квадрате суммы появляется слагаемое 2ab?
Квадрат суммы — это произведение (a + b)(a + b). При раскрытии скобок появляются два одинаковых слагаемых: ab и ab, поэтому вместе они дают 2ab.
Почему в формуле квадрата разности член b² положительный?
При раскрытии скобок получаем (a − b)(a − b), поэтому последний множитель даёт (−b) · (−b). Произведение двух отрицательных чисел положительно, значит, получается b².
Как не перепутать знаки в формулах квадрата суммы и квадрата разности?
Сначала запомните, что крайние члены в обеих формулах положительные: a² и b². Знак среднего члена совпадает со знаком между слагаемыми в скобках: плюс для суммы и минус для разности.
Можно ли вместо a и b подставлять целые выражения?
Да, буквами a и b могут обозначаться числа, переменные или выражения. Подставляйте их в формулу целиком и возводите каждое слагаемое в квадрат, не забывая про удвоенное произведение.
Как проверить, является ли многочлен квадратом двучлена?
Проверьте, можно ли представить первый и последний члены как квадраты. Затем сравните средний член с удвоенным произведением корней этих квадратов: он должен иметь подходящий знак.
Формулы квадрата суммы и квадрата разности.
