"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Квадрат суммы и квадрат разности — выражения, в которых в квадрат возводится целый двучлен, а не отдельные его части. Формулы (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)² = a² − 2ab + b² помогают быстро раскрывать скобки и упрощать выражения. Главное — не пропустить среднее слагаемое: это удвоенное произведение частей двучлена, а его знак зависит от знака между ними.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — выражение вида (a + b)². В квадрат возводится вся сумма a + b, то есть двучлен целиком заключён в скобки и только потом умножается сам на себя. Это не то же самое, что отдельно возвести в квадрат a и b: между квадратами слагаемых появляется ещё один член. Такое обозначение помогает увидеть, что именно нужно раскрыть по формуле.
Квадрат разности — выражение вида (a − b)². Здесь в квадрат возводится вся разность a − b, а не только каждое слагаемое по отдельности. Скобки важны: они показывают, что знак минус относится ко второму слагаемому внутри двучлена. Это позволяет не перепутать квадрат разности с разностью квадратов.
Формула квадрата суммы — тождество (a + b)² = a² + 2ab + b². Тождеством называют равенство, которое верно при любых допустимых значениях букв. Формула позволяет заменить квадрат двучлена суммой трёх слагаемых без повторного умножения скобок. Её удобно применять при упрощении выражений с переменными и числами.
Формула квадрата разности — тождество (a − b)² = a² − 2ab + b². Она тоже раскрывает квадрат двучлена, но средний член здесь имеет знак минус. Последнее слагаемое остаётся положительным, потому что оно получается из квадрата второго слагаемого. Формула помогает раскрыть скобки, сохраняя правильные знаки всех частей.
Формулу квадрата суммы можно получить обычным умножением скобок: (a + b)² означает (a + b)(a + b). Раскроем произведение распределительным свойством: a·a + a·b + b·a + b·b. Крайние произведения дают a² и b², а два средних равны ab. Поэтому их можно сложить и записать как 2ab, получив a² + 2ab + b².
Для квадрата разности записываем (a − b)² как (a − b)(a − b). После умножения получаем a·a − a·b − b·a + b·b. Два средних произведения теперь оба отрицательные, поэтому вместе они дают −2ab. Последнее произведение положительно: отрицательное число, умноженное на отрицательное, даёт положительный результат, поэтому получается a² − 2ab + b².
Среднее слагаемое возникает потому, что при умножении двучлена на себя каждое из его слагаемых встречается в двух перекрёстных произведениях. В сумме знаки обоих произведений положительные, и выходит 2ab; в разности оба знака отрицательные, и выходит −2ab. Крайние члены — квадраты первого и второго слагаемых. Поэтому при выборе формулы особенно важно смотреть на знак между частями в исходных скобках.
В выражении (x + 3)² целыми слагаемыми двучлена являются x и 3, то есть вместо a подставляем x, а вместо b — 3. По формуле получаем x² + 2·x·3 + 3², затем выполняем умножение и возведение числа в квадрат: x² + 6x + 9. Нельзя ограничиться x² + 9: так мы бы возвели в квадрат слагаемые отдельно и потеряли произведения между ними. Формула учитывает все части произведения скобок.
Точно так же формула работает, если слагаемые содержат коэффициенты или степени переменных. Например, в (2x − 3y)² за первое слагаемое принимаем 2x, а за второе — 3y: их квадраты равны 4x² и 9y². Средний член равен −2·2x·3y, то есть −12xy, поэтому результат — 4x² − 12xy + 9y². Если сомневаешься, распознал ли двучлен правильно, умножь скобки на себя или подставь вместо букв простые числа и сравни значения.
| Преобразуемое выражение | Результат раскрытия скобок | Знак среднего слагаемого |
|---|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² | плюс |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² | минус |
| Общее для обеих формул | Квадрат первого слагаемого и квадрат второго слагаемого | Среднее слагаемое содержит произведение 2ab |
Сначала найди знак между слагаемыми в скобках и выбери соответствующую строку. Затем возведи каждое слагаемое в квадрат и вычисли средний член как удвоенное произведение слагаемых. В обеих формулах второй квадрат положительный, меняется только знак среднего слагаемого.
Задача 1. Раскройте скобки: (x + 4)². В скобках стоит сумма, поэтому используем формулу квадрата суммы. Первым слагаемым считаем x, вторым — 4. Не забудем, что между их квадратами должно быть среднее слагаемое.
Ответ: x² + 8x + 16. Средний член 8x получился из удвоенного произведения x и 4, а не из квадрата одного из слагаемых.
Задача 2. Раскройте скобки: (3a − 2b)². Это квадрат разности, причём слагаемые здесь — целые выражения 3a и 2b. Сначала найдём квадраты частей, затем среднее слагаемое со знаком минус. При умножении среднего члена важно перемножить и коэффициенты, и буквенные части.
Ответ: 9a² − 12ab + 4b². Последнее слагаемое положительно, потому что квадрат 2b равен 4b², а знак разности влияет только на средний член.
Задача 3. Упростите выражение: (x + 5)² − (x − 5)². Здесь нужно раскрыть два квадрата по разным формулам, а затем выполнить вычитание. Важно учесть, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех её слагаемых. После этого одинаковые квадраты x² и числа сократятся.
Ответ: 20x. Квадраты переменной взаимно уничтожились, как и числа 25, а два слагаемых 10x сложились.
Ошибка: записать (a + b)² = a² + b². Так получается, если по ошибке возвести в квадрат каждое слагаемое отдельно и забыть перекрёстные произведения. Между квадратами обязательно должно быть среднее слагаемое 2ab. Проверь себя умножением (a + b)(a + b): в нём появляются два произведения ab.
Ошибка: поставить плюс перед 2ab в формуле квадрата разности. Такое случается, когда знак в исходных скобках не связывают со знаками двух перекрёстных произведений. В (a − b)(a − b) они оба отрицательны, поэтому средний член равен −2ab. Проверка повторным умножением помогает увидеть нужный знак.
Ошибка: записать последний член квадрата разности как −b². Минус внутри скобок относится к слагаемому −b, но при умножении на себя получается (−b)(−b) = b². Поэтому в формуле последний член всегда положительный. Для проверки отдельно вычисли квадрат второго слагаемого.
Ошибка: неверно найти средний член в выражении (3a − 2b)², например не перемножить коэффициенты 3 и 2 или потерять одну из букв. Среднее слагаемое — это −2·3a·2b, значит, оно равно −12ab. Записывай произведение целиком, а потом отдельно перемножай числа и буквенные части. Такая проверка помогает не пропустить коэффициент или переменную.
Для работы с формулами нужно уметь применять распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, перемножать одночлены и соблюдать правила знаков. Именно эти навыки позволяют вывести формулы и правильно посчитать среднее слагаемое. Если с ними возникла трудность, полезно сначала потренироваться на умножении скобок.
Формулы квадрата суммы и разности помогают раскрывать скобки и упрощать многочлены. Позже они пригодятся и при разложении многочлена на множители: это обратное преобразование, в котором выражение представляют в виде произведения. Умение видеть структуру двучлена облегчает оба вида преобразований.
Почему в формуле квадрата суммы появляется слагаемое 2ab?
При умножении (a + b) на себя получаются произведения a·b и b·a. Они равны, поэтому складываются в 2ab.
Почему при квадрате разности последний член положительный?
Последний член получается умножением −b на −b. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому (−b)² = b².
Как понять, какое выражение считать первым слагаемым, а какое — вторым?
Первое слагаемое стоит перед знаком плюс или минус, второе — после него. Например, в (3a − 2b) первое слагаемое — 3a, а второе — 2b; знак минус учитывается отдельно в формуле.
Можно ли применить формулу к выражению с коэффициентами перед переменными?
Да. Считай каждую часть двучлена целым слагаемым: например, в (3a − 2b)² это 3a и 2b. Затем возведи их в квадрат и найди удвоенное произведение.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Можно ещё раз перемножить двучлен на самого себя и сравнить результат. Также подставь вместо переменных простые числа: значения исходного и полученного выражений должны совпасть.
Преобразование выражений с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности
