"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Квадрат суммы и квадрат разности — это выражения, в которых в квадрат возводится целая скобка: (a + b)² или (a − b)². Для раскрытия скобок удобно использовать формулы: они помогают не пропустить средний член и быстро получить результат. В обеих формулах квадраты слагаемых складываются, а знак удвоенного произведения зависит от знака между слагаемыми. Эти равенства можно применять и в обратную сторону.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — выражение вида (a + b)². В квадрат возводится вся сумма в скобках: это значит, что скобку умножают саму на себя, то есть (a + b)(a + b). Нельзя считать, что квадрат относится отдельно только к a или только к b. Это обозначение помогает перейти от короткой записи к произведению и затем раскрыть скобки.
Квадрат разности — выражение вида (a − b)². Здесь в квадрат возводится вся разность, поэтому запись означает произведение (a − b)(a − b). Минус между слагаемыми остаётся внутри обеих скобок, и его нужно учитывать при умножении. Понимание этой записи не даёт ошибочно возвести в квадрат только первое слагаемое.
Произведение двух выражений — результат умножения одного выражения на другое. Например, чтобы умножить (a + b) на (a + c), перемножают каждый член первой скобки с каждым членом второй: a · a, a · c, b · a и b · c, а затем складывают результаты. Такой порядок называют применением распределительного свойства умножения. Он нужен, чтобы раскрывать скобки и выводить формулы квадрата суммы и разности.
Начнём с квадрата суммы: (a + b)² можно переписать как (a + b)(a + b). По распределительному свойству умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй: получаем a · a + a · b + b · a + b · b. Это равно a² + ab + ab + b², а после объединения одинаковых слагаемых выходит a² + 2ab + b². Значит, формула не вводит новое правило, а сокращает запись обычного умножения.
Для квадрата разности так же записываем произведение: (a − b)² = (a − b)(a − b). Умножение даёт a · a, a · (−b), (−b) · a и (−b) · (−b), то есть a² − ab − ab + b². Два средних отрицательных слагаемых вместе равны −2ab, а произведение −b на −b положительно. Поэтому получается формула a² − 2ab + b².
Удвоенное произведение появляется не случайно: при умножении двух одинаковых скобок есть два перекрёстных произведения. В сумме это a · b и b · a, а в разности — a · (−b) и (−b) · a; каждое получается равным по величине ab. Именно поэтому нельзя оставлять только одно произведение или забывать множитель 2. Крайние слагаемые — это произведения каждого члена на такой же член.
Сравнение формул показывает, что a² и b² в обеих записях складываются. Знаки перед ними положительные, потому что квадрат числа не бывает отрицательным: в случае разности член b² получается как (−b)(−b). Меняется только знак среднего члена: при плюсе в скобках он равен +2ab, а при минусе — −2ab. Так знак можно определить ещё до подробного раскрытия скобок.
Формулы работают и в обратном направлении. Если у трёхчлена первый и последний члены являются квадратами, извлеки из них выражения, квадраты которых получаются: например, из 9x² и 16y² получаются 3x и 4y. Затем проверь, равен ли средний член удвоенному произведению этих выражений, и выбери знак по его знаку. Если проверка проходит, трёхчлен можно записать как квадрат суммы или разности.
| Выражение | Формула | Знак среднего члена |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Плюс |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Минус |
Чтобы раскрыть скобки, найди квадраты обоих слагаемых и удвоенное произведение между ними. Знак перед произведением выбери по знаку в исходной скобке. Для обратного преобразования проверь, совпадают ли все три члена выражения с одной из строк таблицы.
Раскройте скобки: (x + 3)².
Ответ: x² + 6x + 9.
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: (2a − 5b)².
Ответ: 4a² − 20ab + 25b².
Представьте выражение 9x² − 24xy + 16y² в виде квадрата двучлена.
Ответ: (3x − 4y)².
Ошибка: записать (a + b)² = a² + b². Так забывают два перекрёстных произведения, потому что мысленно возводят в квадрат каждый член отдельно. Проверь себя умножением (a + b)(a + b): в раскрытой записи обязательно появятся ab и ba.
Ошибка: потерять множитель 2 и написать в середине только ab или −ab. Это происходит, если учесть лишь одно из двух одинаковых произведений при раскрытии скобок. Перемножь каждый член первой скобки с каждым членом второй и проверь, что средних слагаемых два.
Ошибка: поставить минус перед b² в формуле квадрата разности. Минус между членами скобки влияет на перекрёстные произведения, но последний член получается из (−b)(−b), а оно положительно. Для проверки отдельно перемножь последние члены скобок.
Ошибка: возвести в квадрат только первое слагаемое, например заменить (a + b)² на a² + b. Квадрат относится ко всей скобке, а не только к её части. Сначала перепиши выражение как две одинаковые скобки; если вторая часть не перемножена сама на себя, раскрытие не закончено.
Для вывода формул и раскрытия скобок нужно знать распределительное свойство умножения: каждый член одного выражения умножают на каждый член другого. Также пригодятся правила умножения одночленов — выражений из чисел и букв, например 2a или 5b. Формулы квадрата суммы и разности помогают упрощать выражения и выполнять вычисления, а в обратную сторону — раскладывать трёхчлены на множители. Получается связь между умножением, раскрытием скобок и разложением выражений.
Почему при раскрытии квадрата суммы появляется удвоенное произведение?
Квадрат суммы — это произведение (a + b)(a + b). При умножении в нём возникают два одинаковых слагаемых ab, поэтому вместе они дают 2ab.
Почему в квадрате разности последний член положительный?
Последний член получается при умножении −b на −b. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому этот член равен b².
Как понять, какой знак будет у среднего члена?
Знак среднего члена такой же, как знак между слагаемыми в скобках. В квадрате суммы он положительный, а в квадрате разности — отрицательный.
Можно ли применить формулу, если слагаемые содержат коэффициенты?
Да, буквенные выражения и коэффициенты можно подставлять вместо a и b. Например, в (2a − 5b)² средний член равен −2 · 2a · 5b = −20ab.
Как проверить, что трёхчлен является квадратом двучлена?
Проверь, являются ли первый и последний члены квадратами выражений. Затем убедись, что средний член равен удвоенному произведению этих выражений, со знаком плюс или минус по формуле.
Формулы квадрата суммы и квадрата разности
