Умножение многочлена на многочлен. Преобразование выражений

Определения и обозначения

Многочлен — это сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Одночлены могут отличаться буквенной частью, то есть буквами и их степенями, а также числовыми коэффициентами. Это понятие нужно, чтобы описывать выражения, которые получаются после раскрытия скобок.

Произведение многочленов — выражение, полученное умножением каждого слагаемого одного многочлена на каждое слагаемое другого. Например, при умножении двучленов получится четыре произведения, хотя некоторые из них потом могут оказаться подобными. Определение подсказывает, какие действия нельзя пропустить.

Стандартный вид многочлена — запись, в которой приведены подобные слагаемые, а одночлены расположены по выбранному порядку степеней. Например, x² + 5x + 6 записан по убыванию степеней x. Такой порядок помогает быстрее увидеть, какие слагаемые ещё можно объединить и как устроен результат.

Преобразование выражения — замена выражения равным ему выражением, например раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Значение выражения при этом не меняется, если вместо букв подставлять одни и те же числа. Преобразования нужны, чтобы упростить запись и сделать дальнейшие вычисления удобнее.

Как это устроено

Правило умножения многочленов получается из распределительного свойства: a(b + c) = ab + ac. Поэтому сначала можно умножить каждый член первого многочлена на сумму во вторых скобках, а затем раскрыть эту сумму на отдельные произведения. Если в первых скобках тоже несколько членов, то распределительное свойство применяется к каждому из них. Так произведение двух сумм превращается в сумму произведений всех возможных пар членов.

Каждое слагаемое первого многочлена должно встретиться с каждым слагаемым второго. Например, если в одной скобке два члена, а в другой три, должно получиться шесть произведений. Чтобы ничего не забыть, удобно взять один член первой скобки и умножить его на все члены второй, а затем перейти к следующему. Запись по строкам или столбцам делает этот порядок заметным.

Чтобы перемножить одночлены, сначала умножают их числовые коэффициенты, а потом буквенные части. У одинаковых букв показатели степеней складывают: x² · x³ = x⁵, потому что вместе записано пять множителей x. Буквы с разными основаниями сохраняют отдельно, например x² · y = x²y. Знак каждого результата определяют по правилам умножения чисел: произведение двух отрицательных чисел положительно, а чисел разных знаков — отрицательно.

После раскрытия скобок выражение может содержать несколько подобных слагаемых. Подобные слагаемые имеют одинаковые буквенные части, поэтому, например, 3x и −x можно заменить на 2x. Сначала их удобно сгруппировать, а затем сложить коэффициенты, не меняя буквенную часть. В итоге одночлены записывают в выбранном порядке степеней — так получается стандартный вид.

Результат полезно проверить по исходным скобкам: мысленно или письменно повторить распределение членов. Сверь количество полученных произведений с числом всех пар слагаемых, а затем отдельно проверь знаки и степени. После этого убедись, что одинаковые буквенные части объединены и ни одна скобка не осталась нераскрытой. Такая проверка помогает заметить пропущенный член даже тогда, когда вычисления выглядят аккуратно.

Порядок умножения многочленов

Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, только когда проверил предыдущий. Если при умножении образовалось несколько слагаемых с одинаковыми буквенными частями, объедини их на этапе упрощения. В конце проверь, что запись отвечает требованиям стандартного вида.

Разбор задач

Задача 1. Раскройте скобки: (x + 2)(x + 3). В обеих скобках по два слагаемых, значит, нужно получить четыре произведения. Сначала умножим каждый член первой скобки на оба члена второй, а после этого найдём подобные слагаемые.

1. Умножаем x на каждый член второй скобки: x · x = x² и x · 3 = 3x.
2. Умножаем 2 на каждый член второй скобки: 2 · x = 2x и 2 · 3 = 6.
3. Записываем все результаты и объединяем подобные слагаемые: x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.

Ответ: x² + 5x + 6.

Задача 2. Упростите выражение: (a − 4)(a + 4) + 3a(a − 2). Здесь два произведения, поэтому каждое раскрываем отдельно, не забывая о знаке −4 и множителе 3a. Потом объединяем слагаемые с одинаковой буквенной частью.

1. В первом произведении перемножаем все пары: a · a + a · 4 − 4 · a − 4 · 4 = a² + 4a − 4a − 16.
2. Во втором произведении умножаем 3a на оба члена: 3a(a − 2) = 3a² − 6a.
3. Складываем результаты и приводим подобные: a² − 16 + 3a² − 6a = 4a² − 6a − 16.

Ответ: 4a² − 6a − 16.

Задача 3. Найдите многочлен, равный выражению (2x − 3)(x² + x − 5) − x(x² − 4). Первый множитель состоит из двух членов, второй — из трёх, поэтому в первом произведении будет шесть слагаемых. Раскрываем и второе произведение, сохраняя минус перед 3 и вычитание всего второго выражения. Затем собираем одночлены с одинаковыми степенями x.

1. Умножаем 2x на каждый член трёхчлена: 2x³ + 2x² − 10x.
2. Умножаем −3 на каждый его член: −3x² − 3x + 15. Первое произведение равно 2x³ − x² − 13x + 15.
3. Раскрываем вторые скобки: x(x² − 4) = x³ − 4x. Вычитаем это выражение: 2x³ − x² − 13x + 15 − x³ + 4x.
4. Приводим подобные: 2x³ − x³ = x³, а −13x + 4x = −9x. Получаем x³ − x² − 9x + 15.

Ответ: x³ − x² − 9x + 15.

Типичные ошибки

Умножают только первые или одноимённые слагаемые двух многочленов. Так делают, если воспринимают скобки как пары, а не как суммы, к которым применяется распределительное свойство. В результате части произведения теряются. Проверь себя: число записанных произведений должно быть равно числу слагаемых в первой скобке, умноженному на число слагаемых во второй.

Теряют минус при умножении отрицательного члена, например записывают −3 · 2 как 6. Ошибка часто появляется, когда вычисляют несколько произведений подряд и не отслеживают знаки отдельно. Перед упрощением проверь знак каждого произведения по правилу умножения целых чисел. Только после этого складывай слагаемые.

Складывают показатели степеней при сложении подобных слагаемых. Показатели складывают при умножении степеней с одинаковым основанием, но не при сложении: 2x² + 3x² = 5x², а не 5x⁴. Чтобы проверить действие, сначала выясни, стоят ли между степенями знаки умножения или сложения. При приведении подобных меняются коэффициенты, буквенная часть остаётся прежней.

Считают слагаемые подобными, если в них есть хотя бы одна одинаковая буква. Но буквенные части должны совпадать полностью: 2xy и 5xy подобны, а 2x и 5x² — нет. Ошибка возникает, когда не обращают внимания на показатели степеней или другие буквы. Сравни буквенные части целиком, прежде чем объединять коэффициенты.

Связь с другими темами

Для умножения многочленов нужны уже знакомые распределительное свойство умножения, правила знаков, умножение одночленов и приведение подобных слагаемых. Если эти действия пока вызывают затруднение, полезно отдельно потренироваться на небольших выражениях. Тогда каждый этап раскрытия скобок станет понятнее.

Умение умножать многочлены пригодится при раскрытии скобок в более сложных выражениях. Обратное преобразование — разложение многочлена на множители — помогает представить сумму в виде произведения. Эти действия связаны: раскрывая скобки или вынося множители, можно переходить от одной равной записи выражения к другой.

Что запомнить

• Каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго.
• При умножении одночленов коэффициенты перемножают.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• Знак каждого произведения определяют по правилам умножения целых чисел.
• После раскрытия скобок приводят подобные слагаемые.
• В итоговой записи не должно оставаться нераскрытых скобок.