§ 39. Предел функции

Определения и обозначения

Предел функции в точке — это число A, к которому приближаются значения f(x), когда аргумент x приближается к a. При этом x не обязательно равен a, а значение f(a) может быть не задано. Такое определение нужно, чтобы описывать поведение функции рядом с точкой, даже если в самой точке есть разрыв или пропуск.

Запись lim_{x→a} f(x) = A читают: «предел f(x) при x, стремящемся к a, равен A». Стрелка x→a показывает, к какому значению приближается аргумент, а A — к какому значению приближается функция. Эта запись кратко фиксирует результат наблюдения за функцией вблизи точки.

Односторонний предел — это предел, который рассматривают при приближении к точке только с одной стороны. Обозначение lim_{x→a−} f(x) относится к подходу слева, а lim_{x→a+} f(x) — справа. Такие обозначения нужны, когда поведение функции с разных сторон точки может различаться.

Бесконечный предел возникает, если при приближении x к a значения функции неограниченно возрастают или убывают. Это записывают, например, как lim_{x→a} f(x) = +∞ или lim_{x→a} f(x) = −∞. Понятие помогает описать случаи, когда функция не приближается к конечному числу, а её значения по модулю становятся сколь угодно большими.

Как это устроено

Предел описывает не значение функции в точке, а её поведение рядом с ней. Поэтому f(a) может отсутствовать: чтобы исследовать предел, достаточно знать значения при x, близких к a, но не обязательно равных a. Например, точка графика может быть выколотой, а к этой высоте кривая всё равно будет подходить.

При движении к точке можно приближаться к ней слева и справа. Чтобы получить один конечный предел, оба пути должны приводить к одному и тому же числу: иначе нельзя сказать, что функция стремится к единому значению. Это сравнение объясняет, почему одной стороны недостаточно для вывода о существовании обычного предела.

Односторонние пределы позволяют отдельно проследить, что происходит в каждом направлении. Если левый и правый пределы равны, это общее значение и есть предел функции в точке. Если они различаются, функция приближается к разным значениям, и общего предела нет.

Если при приближении x к a значения f(x) неограниченно растут по модулю, конечного предела нет, но можно говорить о бесконечном пределе. Знак зависит от того, становятся значения всё больше положительными или всё более отрицательными. В такой ситуации прямая x = a может быть вертикальной асимптотой графика: к ней график приближается, а значения y уходят вверх или вниз.

Таблица и график помогают увидеть, к чему стремится функция рядом с точкой. В таблице сравнивают значения при x, взятых близко к a с обеих сторон, а на графике следят за направлением кривой. Простая подстановка x = a не всегда отвечает на вопрос о пределе, потому что функция в точке может быть не определена или вести себя там иначе, чем рядом.

Виды предела и их смысл

Таблица помогает разделить ситуации по тому, с какой стороны рассматривают точку и к чему стремятся значения функции. Для проверки конечного предела сравните левое и правое направления. Если вместо числа значения неограниченно растут по модулю, рассматривайте бесконечный предел.

Разбор задач

Задача 1. По таблице значений слева и справа от x = 2 определить предел, если значения функции с обеих сторон приближаются к 5. Значение f(2) в условии не задано. Нужно выяснить, достаточно ли наблюдаемого поведения для ответа.

1. Отдельно рассмотрим значения при x < 2 и при x > 2.
2. В обоих направлениях значения приближаются к одному числу — 5.
3. Поэтому левый и правый пределы равны 5, и общий предел существует.

Ответ: lim_{x→2} f(x) = 5. Знать f(2) для этого вывода не нужно. Значение в самой точке не меняет установленного поведения функции рядом с ней.

Задача 2. По графику определить, существует ли предел при x→1, если слева график приближается к y = 3, а справа — к y = −2. Здесь нужно не выбирать одно из двух значений, а сравнить направления подхода. Для общего предела они должны совпадать.

1. При движении к x = 1 слева значения функции приближаются к 3, значит, левый предел равен 3.
2. Справа значения приближаются к −2, значит, правый предел равен −2.
3. Поскольку 3 ≠ −2, односторонние пределы не равны и общего предела нет.

Ответ: предел при x→1 не существует. При этом каждый односторонний предел существует отдельно. Различие видно по тому, что график подходит к разным высотам с разных сторон.

Задача 3. Исследовать f(x) = 1/(x − 2) при x→2 слева и справа. Дробь не определена при x = 2, поэтому подстановка не даёт значения функции. Для ответа проследим, как меняется знак знаменателя при подходе к нулю.

1. Если x < 2 и приближается к 2, то x − 2 отрицателен и становится очень малым по модулю. Обратная величина 1/(x − 2) убывает без ограничения, поэтому левый предел равен −∞.
2. Если x > 2 и приближается к 2, то x − 2 положителен и становится очень малым. Обратная величина растёт без ограничения, поэтому правый предел равен +∞.
3. Знаки пределов различаются, следовательно, общего конечного предела при x→2 нет.

Ответ: lim_{x→2−} 1/(x − 2) = −∞, а lim_{x→2+} 1/(x − 2) = +∞. Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой графика. Именно проверка знака знаменателя показывает направление роста с каждой стороны.

Типичные ошибки

• Считать предел равным f(a) — ошибка, потому что предел определяется значениями рядом с точкой. Такое смешение возникает из-за привычки подставлять аргумент в формулу. Проверьте себя: функция вообще определена при x = a и что происходит с её значениями по обе стороны?

• Делать вывод только по одному направлению недостаточно, поскольку другая сторона может вести себя иначе. Часто к этому приводит наблюдение лишь за частью таблицы или графика. Проверьте, приближаются ли значения к числу и при x < a, и при x > a.

• Если оба односторонних предела конечны, это ещё не означает существование общего предела: они могут быть различными. Ошибка возникает, когда замечают, что каждый подход по отдельности имеет результат, но забывают сравнить результаты. Запишите левый и правый пределы рядом и проверьте, равны ли они.

• Одно большое значение функции не доказывает, что предел бесконечен. Бесконечный предел означает неограниченный рост по мере приближения аргумента к точке, а не просто большое число в таблице. Проверьте значения при всё более близких x: сохраняется ли рост без ограничения?

Связь с другими темами

Чтобы изучать пределы, нужно понимать, что такое функция, знать её область определения и уметь читать графики и таблицы. Область определения помогает выяснить, какие значения аргумента можно брать рядом с точкой, а график и таблица показывают поведение функции. Навыки анализа «слева» и «справа» пригодятся при исследовании разрывов.

Предел служит основой для изучения непрерывности: при непрерывности поведение функции около точки согласуется с её значением в этой точке. Позже предел понадобится при введении производной, которая описывает изменение функции. Поэтому умение сравнивать подходы к точке важно не только для задач на пределы.

Что запомнить

• Предел описывает поведение функции вблизи точки.
• Значение функции в точке может не совпадать с пределом.
• Для существования конечного предела левый и правый пределы должны быть равны.
• Односторонние пределы рассматривают подход к точке только с одной стороны.
• Бесконечный предел означает неограниченный рост функции по модулю.
• По графику предел определяют по тому, к каким значениям приближается кривая.