§ 46. Правила дифференцирования

Определения и обозначения

Правило дифференцирования суммы утверждает: производная суммы функций равна сумме их производных, то есть (u + v)′ = u′ + v′. Здесь u и v обозначают функции от x, а штрих — знак производной. Это правило позволяет находить производную выражения по слагаемым, не объединяя их в одну формулу и не обращаясь каждый раз к пределу.

Правило дифференцирования произведения гласит: производная произведения двух функций равна сумме двух произведений — производной каждого множителя на другой множитель. Формула имеет вид (uv)′ = u′v + uv′. Она нужна, когда функция образована умножением двух выражений: каждый множитель меняется при изменении x, поэтому учитывается вклад обоих.

Правило дифференцирования частного задаёт производную дроби: в числителе стоит разность u′v − uv′, а в знаменателе — квадрат знаменателя, то есть (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Формула применима там, где v ≠ 0. Она помогает дифференцировать дроби, сохраняя порядок числителя и не забывая ограничение на знаменатель.

Как это устроено

Чтобы получить правило суммы, рассмотрим приращение функции u + v при изменении x на h. Оно равно [u(x + h) − u(x)] + [v(x + h) − v(x)], поскольку приращение каждой части складывается с приращением другой. Разделим это выражение на h: получим сумму двух отношений приращений к h. При h, стремящемся к нулю, каждое отношение стремится к производной соответствующей функции, поэтому предел их суммы равен u′ + v′.

Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (cu)′ = cu′. Действительно, приращение функции cu равно c[u(x + h) − u(x)], и постоянное c не зависит от h, поэтому остаётся множителем и после перехода к пределу. Вместе с правилом суммы это позволяет дифференцировать линейные комбинации: сначала находить производные отдельных функций, а коэффициенты перед ними сохранять. Например, в выражении 3u − 2v производная равна 3u′ − 2v′.

Для произведения u(x)v(x) прибавим и вычтем промежуточное выражение u(x)v(x + h). Тогда приращение можно представить как [u(x + h) − u(x)]v(x + h) + u(x)[v(x + h) − v(x)]. После деления на h возникают два слагаемых: при переходе к пределу они дают u′v и uv′, так как дифференцируемые функции непрерывны. В разности приращений появляется также произведение приращений; после деления на h его предел равен нулю, поэтому отдельного слагаемого в формуле не остаётся.

Для дроби представим u/v как произведение u на обратную величину знаменателя: u · (1/v). Производная обратной функции 1/v равна −v′/v², поэтому по правилу произведения получаем u′/v − uv′/v². Приведя выражение к общему знаменателю, получаем (u′v − uv′)/v². Здесь необходимо условие v(x) ≠ 0: в точках, где знаменатель равен нулю, исходная дробь не определена.

Если выражение содержит несколько операций, сначала определи его общую структуру: сумма это, произведение или частное. Затем примени правило к частям выражения и при необходимости разбери их дальше. В формуле произведения второй множитель в каждом слагаемом остаётся исходным, а в формуле частного исходные функции сохраняются в числителе, хотя производная берётся только у одной из них. Такой порядок помогает не пропускать множители и не дифференцировать всю запись одновременно.

Основные правила дифференцирования

Сначала сопоставь выражение с первым столбцом и определи, какая операция объединяет его части. Затем проверь условие из третьего столбца и подставь функции в соответствующую формулу. Если частей несколько, последовательно применяй правила и используй таблицу производных элементарных функций для получения окончательного ответа.

Разбор задач

Линейная комбинация функций

Найти производную функции y = 5x³ − 2x + 7. Здесь есть сумма слагаемых, а перед x³ и x стоят постоянные коэффициенты. Поэтому применим правило суммы и вынесения постоянного множителя, используя производные степенной функции и постоянной.

1. Разобьём выражение на три слагаемых: 5x³, −2x и 7. По правилу суммы производную можно найти для каждого слагаемого отдельно, а затем сложить результаты. Коэффициенты 5 и −2 остаются множителями.
2. Используем формулы (x³)′ = 3x², (x)′ = 1 и (7)′ = 0. Тогда (5x³)′ = 5·3x², а (−2x)′ = −2·1. Постоянное слагаемое исчезает при дифференцировании.
3. Собираем результаты: y′ = 15x² − 2 + 0. Следовательно, производная исходной функции равна 15x² − 2.

Ответ: y′ = 15x² − 2.

Произведение функций

Найти производную функции y = (x² + 1)(3x − 4). Выражение состоит из произведения двух скобок, поэтому обозначим u = x² + 1 и v = 3x − 4. В формуле производной произведения нужно сложить два слагаемых: производную первой скобки умножить на вторую, а первую скобку — на производную второй.

1. Находим производные множителей: u′ = 2x, поскольку производная x² равна 2x, а производная 1 равна нулю. Для второго множителя v′ = 3, так как (3x − 4)′ = 3.
2. Подставляем в формулу (uv)′ = u′v + uv′. Получаем y′ = 2x(3x − 4) + (x² + 1)·3. Недifferentiрованные множители остаются в каждом слагаемом согласно формуле.
3. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: y′ = 6x² − 8x + 3x² + 3 = 9x² − 8x + 3. Раскрывать скобки можно и после применения правила, чтобы снизить риск ошибки.

Ответ: y′ = 9x² − 8x + 3.

Частное функций

Найти производную функции y = (x² + 1)/(x − 2) и указать, при каких x она определена. Это частное функций u = x² + 1 и v = x − 2, поэтому используем формулу с квадратом знаменателя. Сначала выпишем числитель именно в порядке u′v − uv′, затем проверим ограничение исходной дроби.

1. Вычисляем производные: u′ = 2x, v′ = 1. Подстановка в правило частного даёт y′ = [2x(x − 2) − (x² + 1)·1]/(x − 2)². Знак между произведениями — минус.
2. Упрощаем числитель: 2x(x − 2) − (x² + 1) = 2x² − 4x − x² − 1 = x² − 4x − 1. Поэтому y′ = (x² − 4x − 1)/(x − 2)².
3. Знаменатель исходной функции равен x − 2, он обращается в ноль при x = 2. Значит, исходная функция, а вместе с ней и её производная, определена при всех x, кроме 2.

Ответ: y′ = (x² − 4x − 1)/(x − 2)², x ≠ 2.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать, что производная произведения равна u′v′. Так делают, перенося на производные обычное правило умножения, но изменение каждого множителя даёт отдельный вклад. Проверь запись по формуле: в ней должны быть два слагаемых u′v и uv′.

• Ошибка: записать только один член формулы произведения, например u′v, забыв uv′. Это происходит, если дифференцируют только первый множитель и воспринимают второй как постоянный. Проверь себя: в каждом слагаемом производная берётся у одного множителя, а другой сохраняется.

• Ошибка: переставить слагаемые в числителе производной частного и получить uv′ − u′v. Здесь важен порядок «производная числителя на знаменатель минус числитель на производную знаменателя». Перед упрощением выпиши эту схему словами, чтобы не перепутать знак.

• Ошибка: оставить в знаменателе производной частного v вместо v² или применить формулу при v = 0. Квадрат знаменателя появляется при дифференцировании обратной величины, а нулевой знаменатель делает исходную дробь несуществующей. Проверь формулу и отдельно найди значения x, при которых знаменатель обращается в ноль.

Связь с другими темами

Для применения правил нужно знать определение производной через предел и производные основных элементарных функций: именно они дают производные отдельных частей после разбиения выражения. Новые формулы соединяют эти знания и позволяют работать с более сложными функциями. Полученные производные используют при исследовании функций и решении задач на скорость изменения величин. Поэтому важно уметь не только вычислять производную, но и определять область, где выражение задано.

Что запомнить

• Производная суммы равна сумме производных.
• Постоянный множитель выносится за знак производной.
• Производная произведения — это u′v + uv′, а не u′v′.
• В производной частного знаменатель возводится в квадрат.
• В числителе правила частного сохраняй порядок u′v − uv′.
• Перед применением правила частного проверь, что знаменатель не равен нулю.