"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Степенная функция имеет вид y = xⁿ, где n — показатель степени. Её производную находят по правилу: показатель становится множителем, а степень уменьшается на единицу. Это правило позволяет быстро дифференцировать многочлены, корни и дроби, если представить их в степенном виде. При этом нужно учитывать область определения: например, отрицательная степень не допускает x = 0, а корень чётной степени в вещественных числах определён только при неотрицательном подкоренном выражении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенная функция — это функция вида y = x^α, где α — заданное число, называемое показателем степени. Её область определения зависит от α: например, при натуральном показателе подходят все действительные x, а при отрицательном нельзя брать x = 0. Это уточнение нужно, чтобы не применять формулы там, где сама функция не существует.
Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Если этот предел существует, он показывает, как быстро меняется функция вблизи выбранной точки. Определение помогает понять происхождение формулы и проверить её применимость.
Приращение аргумента обозначают Δx, а приращение функции — Δy = f(x + Δx) − f(x). Иными словами, Δy показывает, насколько изменилось значение функции, когда x заменили на x + Δx. Эти обозначения нужны для записи предела, через который определяется производная.
Производная степенной функции — это производная функции y = x^α. В точках, где функция дифференцируема, её вычисляют по правилу (x^α)' = α·x^(α−1). Правило применяют с учётом области определения и существования производной: для дробных показателей, например, могут быть ограничения на x.
Выведем правило для натурального показателя n, начиная с определения производной. Приращение функции равно (x + Δx)ⁿ − xⁿ, а по биному Ньютона (x + Δx)ⁿ = xⁿ + n·xⁿ⁻¹·Δx + слагаемые с более высокими степенями Δx. Вычитание xⁿ убирает первый член, поэтому в приращении остаётся n·xⁿ⁻¹·Δx и остальные слагаемые.
Теперь разделим приращение функции на Δx. Первое слагаемое превращается в n·xⁿ⁻¹, а остальные содержат Δx в первой или более высокой степени. Когда Δx стремится к нулю, эти добавочные слагаемые тоже стремятся к нулю, поэтому предел равен n·xⁿ⁻¹. Так становится ясно, почему исходный показатель появляется множителем, а степень уменьшается на единицу.
Правило применяют не только к натуральным степеням: его распространяют на целые и рациональные показатели, если соответствующая функция определена и дифференцируема в рассматриваемой точке. При отрицательном целом показателе x не может быть равен нулю, ведь функция превращается в дробь с x в знаменателе. При рациональном показателе учитывают, можно ли извлечь нужный корень в действительных числах: корень чётной степени требует неотрицательного подкоренного выражения.
Чтобы дифференцировать отрицательную степень или корень, сначала удобно представить выражение как степень. Например, 1/x³ = x⁻³, а √x = x¹ᐟ²; затем применяют общее правило и проверяют область определения исходной функции. Для корня √x формула даёт ½x⁻¹ᐟ² = 1/(2√x), что верно при x > 0, но не в точке x = 0.
Если перед степенью стоит постоянное число c, оно сохраняется: (c·xⁿ)' = c·n·xⁿ⁻¹. Если выражение состоит из нескольких слагаемых, производную находят для каждого слагаемого отдельно, а результаты складывают с прежними знаками. Это позволяет разбирать длинные выражения без нового вывода для каждой функции.
| Вид функции | Производная | Ограничения и замечания |
|---|---|---|
| y = xⁿ, n — натуральное число | y' = n·xⁿ⁻¹ | Функция и производная определены при всех действительных x. |
| y = xⁿ, n — целое отрицательное число | y' = n·xⁿ⁻¹ | x ≠ 0; исходная функция не определена при x = 0. |
| y = x^(m/k), показатель рациональный | y' = (m/k)·x^(m/k−1) | Учитывают знак x и чётность знаменателя k; формула действует в точках дифференцируемости. |
| y = c·xⁿ, c — постоянная | y' = c·n·xⁿ⁻¹ | Множитель c сохраняется; область определения определяется степенной функцией. |
Найдите в таблице строку, соответствующую показателю и виду множителя, а затем проверьте ограничение на x. Для дробного показателя дробь m/k следует предварительно сократить и выяснить, какой корень она задаёт. Формула сама по себе не отменяет проверку области определения исходной функции.
Показатель натуральный, поэтому можно сразу применить формулу степенной функции. Коэффициента перед x⁶ нет, то есть он равен единице. Умножаем на показатель и уменьшаем степень на единицу.
Ответ: y' = 6x⁵. Производная существует при любом действительном x, поскольку функция является многочленом.
Запись дробью скрывает показатель степени, поэтому сначала перепишем функцию в степенном виде. Это позволит применить ту же формулу, что и для положительной степени. Одновременно отметим, что исходная функция не определена при x = 0.
Ответ: y' = −3/x⁴ при x ≠ 0. Условие x ≠ 0 сохраняется, потому что в нуле не определена исходная функция.
Здесь есть степень, корень и дробь, поэтому сначала приведём все слагаемые к степенному виду. Затем применим правило суммы и будем дифференцировать каждое слагаемое отдельно. Область исходной функции требует x ≥ 0 из-за √x и x ≠ 0 из-за знаменателя, значит, вместе получаем x > 0.
Ответ: y' = 8x³ − 3/(2√x) − 10/x³ при x > 0. Знак минус перед корнем сохраняется, поскольку постоянный множитель −3 не меняется при дифференцировании.
Ошибка: записать (xⁿ)' = xⁿ⁻¹, не умножив на n. Так происходит, если запомнить только изменение показателя; проверьте ответ на простой функции x², производная которой равна 2x, а не x. В формуле всегда сначала перепишите показатель перед степенью как множитель.
При отрицательном показателе легко неверно выполнить вычитание единицы: например, −3 − 1 = −4, а не −2. После вычисления показателя можно проверить результат, заменив отрицательную степень дробью: x⁻⁴ = 1/x⁴. Такая запись помогает заметить ошибку со знаком и не потерять знаменатель.
Ещё одна ошибка — дифференцировать корень, не переписав его как степень с дробным показателем. Например, для √x нужно использовать x¹ᐟ², а не считать корень отдельным знаком, к которому формула не относится. Проверка: после дифференцирования показатель должен стать −½, а результат можно записать как 1/(2√x).
Иногда формулу применяют в точке, где функция не определена, или считают, что производная существует всюду на области определения. Например, x⁻³ не имеет значения при x = 0, а у √x производная не существует в нуле. Перед вычислением проверьте допустимые x, а после — существует ли производная именно в нужной точке.
Для работы с темой нужны определение производной через предел, правила действий со степенями и умение находить область определения функции. Разложение бинома Ньютона объясняет, откуда берётся правило для натурального показателя. Та же формула помогает находить производные многочленов и других выражений, если их удаётся представить через степени.
Производная показывает, как меняется функция, поэтому её используют при исследовании возрастания и убывания, а также при поиске точек максимума и минимума. При этом сначала находят производную, а затем изучают её знак на допустимых промежутках. Ограничения исходной функции остаются важны и при таком исследовании.
Почему в производной степенной функции показатель уменьшается на единицу?
Приращение (x + Δx)ⁿ − xⁿ раскрывают по биному Ньютона. После деления на Δx все слагаемые, кроме первого, содержат множитель Δx и при Δx → 0 исчезают; оставшееся слагаемое пропорционально xⁿ⁻¹.
Откуда берётся множитель, равный показателю степени?
В разложении бинома член, линейный по Δx, имеет вид n·xⁿ⁻¹·Δx. После деления на Δx остаётся n·xⁿ⁻¹, поэтому показатель n становится множителем.
Как найти производную квадратного корня?
Запишите √x как x¹ᐟ² и примените формулу: (√x)' = ½x⁻¹ᐟ² = 1/(2√x). Эта производная определена при x > 0; в точке x = 0 функция определена, но производной нет.
Можно ли применять формулу к отрицательному показателю?
Да, в точках области определения. Например, (x⁻³)' = −3x⁻⁴ при x ≠ 0, поскольку исходная функция 1/x³ не определена при x = 0.
Почему у функции с дробным показателем область определения влияет на применение формулы?
Дробный показатель означает корень: например, x¹ᐟ² = √x, а корень чётной степени в вещественных числах требует x ≥ 0. Формула производной применима только в точках, где функция определена и дифференцируема; граничная точка области может не иметь производной.
§ 6. Производная степенной функции
