"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Дифференциальное уравнение связывает неизвестную функцию с её производной, поэтому описывает не отдельное число, а изменение величины. С его помощью находят законы роста, убывания и движения. Главное — научиться проверять функцию подстановкой, получать общее решение с произвольной постоянной и находить частное решение по начальному условию. Для уравнений y′ = f(x) используют первообразную, а для y′ = ky — экспоненту.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дифференциальное уравнение — уравнение, в котором неизвестная функция и её производная связаны заданным соотношением. Например, y′ = 2y связывает значение функции с темпом её изменения. Такие уравнения нужны, чтобы описывать процессы, а не только находить отдельные числа.
Решение дифференциального уравнения — функция, которая после подстановки вместе со своей производной обращает уравнение в верное равенство. Поэтому решение всегда проверяют вычислением производной и подстановкой. Одного похожего вида записи недостаточно.
Общее решение — семейство функций с произвольной постоянной, включающее решения уравнения. Обычно постоянную обозначают буквой C: например, y = x³ + C. Разные значения C дают разные функции, но все они имеют одну и ту же производную.
Начальное условие — заданное значение неизвестной функции при определённом значении аргумента: y(x₀) = y₀. Оно помогает выбрать одну функцию из общего семейства. После нахождения C получают частное решение.
Уравнение с производной описывает функцию, потому что производная показывает, как меняется её значение при изменении аргумента. Например, скорость является производной координаты по времени, поэтому условие на скорость задаёт закон движения. Чтобы проверить функцию y = g(x), находят g′(x), а затем подставляют g и g′ в исходную запись.
Если дано y′ = f(x), нужно восстановить функцию по её производной. Для этого находят первообразную F(x), такую что F′(x) = f(x), и записывают y = F(x) + C. Постоянная обязательна: производная любого постоянного слагаемого равна нулю, поэтому все такие функции удовлетворяют одному уравнению.
Уравнение y′ = ky требует, чтобы скорость изменения функции была пропорциональна её текущему значению. Экспонента e^(kx) подходит потому, что её производная равна ke^(kx). Поэтому общее решение имеет вид y = Ce^(kx), где C выбирается из начального условия или другого дополнительного требования.
Начальное условие превращает общее решение в конкретное. В формулу подставляют x = x₀ и y = y₀, получают уравнение для C, а затем возвращаются к формуле функции. Например, из y = Ce^(2x) и y(0) = 3 следует C = 3, поэтому частное решение равно y = 3e^(2x).
Дифференциальное уравнение задаёт закон изменения величины. При k > 0 решение y = Ce^(kx) описывает рост или экспоненциальное увеличение, а при k < 0 — убывание. Так моделируют размножение, распад вещества, изменение температуры и другие процессы, если скорость изменения зависит от текущего количества.
| Вид уравнения | Общее решение | Что определяет постоянную |
|---|---|---|
| y′ = f(x) | y = F(x) + C | Начальное условие y(x₀) = y₀ |
| y′ = ky | y = Ce^(kx) | Начальное условие y(x₀) = y₀ |
| Начальное условие y(x₀) = y₀ | Подстановка в общее решение | Задаёт значение C |
| Проверка решения подстановкой | Сравнение левой и правой частей | Подтверждает найденное решение |
Сначала определите тип уравнения в первом столбце, затем выберите соответствующую формулу общего решения. Если дано начальное условие, используйте его для вычисления C. В конце подставьте найденную функцию в исходное уравнение и убедитесь, что равенство выполняется.
Найти общее решение уравнения y′ = 3x². Правая часть зависит только от x, поэтому нужно восстановить функцию по её производной. Так как все первообразные должны быть учтены, в конце добавим постоянную.
Ответ: y = x³ + C.
Решить уравнение y′ = 2y при условии y(0) = 3. Это уравнение имеет вид y′ = ky, поэтому используем экспоненциальную формулу. Начальное условие позволит выбрать одно значение C.
Ответ: y = 3e^(2x).
Количество вещества убывает по закону y′ = −0,1y, причём y(0) = 50. Коэффициент отрицателен, поэтому ожидается экспоненциальное убывание. Используем начальное значение, чтобы определить начальное количество в формуле.
Ответ: y = 50e^(−0,1x).
Забывают постоянную C. Так происходит, если берут только одну первообразную и не учитывают все функции с такой производной. Проверьте себя: должна ли запись описывать семейство решений, а не одну заранее выбранную функцию?
Не проверяют подстановку. Иногда производную приравнивают к функции, не сравнивая результат с исходным уравнением. Найдите производную готового ответа и отдельно вычислите обе части равенства.
Путают общее и частное решение. Формула с C содержит всё семейство, а одно конкретное значение C задаёт лишь одну функцию. Если условие не определяет C, не называйте полученную формулу единственным решением.
Неверно используют начальное условие. Значение x₀ относится к аргументу, а y₀ — к функции, поэтому их нельзя менять местами. Подставляйте одновременно x = x₀ и y = y₀ в общее решение.
До изучения дифференциальных уравнений нужно понимать смысл производной и уметь находить производные элементарных функций. Производная здесь описывает скорость изменения неизвестной величины.
Для уравнений y′ = f(x) необходимы первообразные и таблица интегралов. Нахождение общего решения фактически сводится к восстановлению функции по её производной.
Дифференциальные уравнения связывают алгебру с моделированием. Далее они применяются для описания роста, убывания, движения и других процессов, меняющихся во времени.
Чем дифференциальное уравнение отличается от обычного уравнения?
В обычном уравнении неизвестным обычно является число, а в дифференциальном уравнении неизвестна функция и участвует её производная. Поэтому результатом решения становится функция или семейство функций.
Как проверить, что функция является решением дифференциального уравнения?
Сначала находят производную предложенной функции. Затем подставляют функцию и производную в исходное уравнение и проверяют, получается ли верное равенство.
Почему в общем решении появляется произвольная постоянная?
У одной и той же функции производной обладают все функции, отличающиеся постоянным слагаемым. Поэтому при восстановлении функции по производной нужно добавить C, чтобы получить все решения.
Как найти частное решение по начальному условию?
В общее решение подставляют заданные значения аргумента x₀ и функции y₀. Полученное равенство позволяет найти C, после чего записывают одну конкретную функцию.
Почему решение уравнения y′ = ky связано с экспонентой?
Производная функции e^(kx) равна ke^(kx), то есть пропорциональна самой функции. Поэтому y = Ce^(kx) после дифференцирования автоматически удовлетворяет уравнению y′ = ky.
§ 6. Простейшие дифференциальные уравнения
