"Алгебра и начала математического анализа", Муравин Г.К., Муравина О.В
Касательная — прямая, которая задаёт направление графика функции в выбранной точке. Её наклон находят с помощью производной: если точка касания имеет координаты (x₀; f(x₀)), то угловой коэффициент прямой равен f′(x₀). Поэтому касательную можно записать по точке и наклону: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Эта формула помогает исследовать графики и приближённо вычислять значения функций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая — прямая, проходящая через две точки графика функции. Если одну точку оставить на месте, а другую перемещать по графику, секущие показывают, как меняется направление кривой. Они служат основой для определения касательной.
Точка касания — точка графика, в которой рассматривают касательную; её координаты обозначают (x₀; f(x₀)). Здесь x₀ — абсцисса, то есть координата по горизонтальной оси, а f(x₀) — ордината. Это обозначение помогает подставлять точные координаты точки в уравнение прямой.
Касательная к графику функции в точке — предельное положение секущей, когда её вторая точка приближается к точке касания. Иными словами, касательная задаёт направление графика непосредственно в выбранной точке. Такое представление позволяет перейти от геометрического рисунка к вычислениям.
Угловой коэффициент касательной — число, характеризующее её наклон к горизонтальному направлению. В точке с абсциссой x₀ он равен производной f′(x₀). Значит, производная связывает изменение функции с направлением прямой, которая описывает график около точки.
Возьмём на графике точку с абсциссой x₀ и ещё одну — с абсциссой x₀ + h. Через них проходит секущая, а число h показывает расстояние между абсциссами. Когда h уменьшается, вторая точка приближается к первой, поэтому секущая всё точнее передаёт направление графика около точки. Если при h → 0 секущие стремятся к определённому положению, его принимают за касательную.
Наклон секущей равен отношению изменения ординаты к изменению абсциссы: [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h. В числителе стоит приращение функции, в знаменателе — приращение аргумента; их отношение показывает, насколько в среднем меняется функция на этом промежутке. Производная f′(x₀) по определению равна пределу этого отношения при h → 0. Поэтому, если предел конечен, наклоны секущих стремятся к наклону касательной.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (x₀; y₀), записывается как y = y₀ + k(x − x₀). Для касательной y₀ = f(x₀), а k = f′(x₀), поэтому получаем y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). При x = x₀ слагаемое x − x₀ обращается в ноль, и формула даёт y = f(x₀): значит, прямая действительно проходит через точку касания.
Знак производной определяет направление касательной. Если f′(x₀) > 0, при движении вправо по прямой значения y увеличиваются; если f′(x₀) < 0 — уменьшаются. При f′(x₀) = 0 наклон отсутствует, поэтому касательная горизонтальна. Это описание относится к прямой в выбранной точке и само по себе не определяет поведение функции на всём промежутке.
Конечная производная в точке даёт конечный угловой коэффициент и гарантирует касательную с этим наклоном. Если производной нет, привычное уравнение касательной с конечным коэффициентом применять нельзя: график может иметь излом или вертикальную касательную. Например, в точке излома направления подхода слева и справа различаются, поэтому единого наклона не получается. Следовательно, отсутствие производной не всегда означает отсутствие геометрической касательной, но требует отдельного рассмотрения.
Таблица собирает обозначения, которые нужны для уравнения касательной. Сначала определите x₀, затем найдите f(x₀) и f′(x₀), после чего подставьте значения в формулу. Проверка при x = x₀ должна дать ординату точки касания.
| Что рассматриваем | Обозначение или значение | Как использовать |
|---|---|---|
| Точка касания | (x₀; f(x₀)) | Подставить координаты точки в уравнение прямой |
| Абсцисса точки | x₀ | Вычислить f(x₀) и f′(x₀) |
| Ордината точки | f(x₀) | Задать значение y в точке касания |
| Угловой коэффициент касательной | f′(x₀) | Использовать как наклон прямой |
| Уравнение касательной | y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) | Записать искомую прямую |
Условие. Найти уравнение касательной к графику y = x² в точке с абсциссой x₀ = 1. Нужно узнать координаты точки и наклон касательной. Затем эти данные подставляются в общую формулу.
Ответ: y = 2x − 1. Проверка: при x = 1 прямая даёт y = 1, то есть проходит через точку графика.
Условие. Найти уравнение касательной к графику y = x³ − 2x при x₀ = 2. Сначала определим ординату точки, а отдельно — наклон. Эти величины нужны для двух разных частей формулы.
Ответ: y = 10x − 16. При x = 2 получается y = 4, как и должно быть для прямой, проходящей через точку касания.
Условие. Найти точки графика y = x², в которых касательная параллельна прямой y = 4x + 1, и записать уравнения касательных. У заданной прямой коэффициент при x равен 4, следовательно, такой же наклон должен быть у искомых касательных. Для параболы этот наклон задаёт производная.
Ответ: точка касания — (2; 4), уравнение касательной — y = 4x − 4. Других точек нет, поскольку уравнение 2x = 4 имеет единственное решение.
Иногда вместо углового коэффициента подставляют f(x₀). Это значение задаёт ординату точки, тогда как наклон определяется производной; их смешивают, потому что оба числа вычисляются при одном x₀. Для проверки отдельно подпишите, что является координатой y, а что — коэффициентом прямой.
Другая ошибка — оставить в уравнении f′(x), не вычислив производную при x = x₀. Тогда вместо конкретного наклона получается выражение, меняющееся при разных x. Подставьте x₀ в производную заранее и проверьте, что в конечном уравнении коэффициент — число.
Можно ошибиться в знаке или скобках формулы: например, записать x₀ − x вместо x − x₀. Тогда прямая может не пройти через точку касания, хотя коэффициенты были найдены верно. Подставьте x = x₀ в полученное уравнение: ответ по y обязан равняться f(x₀).
Неверно считать, что касательная обязана пересекать график только в точке касания. Такое ожидание возникает из-за представления, будто касательная лишь «прикасается» к кривой и не может её пересечь. Проверьте точки пересечения решением системы уравнений: у касательной могут быть и другие общие точки с графиком.
Для работы с касательной нужно уметь находить производную функции в точке и вычислять производные основных функций и простых выражений. Геометрический смысл производной связывает наклон прямой с задачами о скорости изменения величины. Формула касательной также помогает приближённо вычислять значения функции около известной точки и исследовать локальное поведение графика. Например, близкие значения функции оценивают по значению соответствующей касательной.
Почему касательную можно определить через предел секущих?
Секущая проходит через две точки графика. Если одну точку закрепить, а вторую приближать к ней, секущая меняет наклон и стремится к прямой, задающей направление графика в точке. Эту предельную прямую и называют касательной, если предел наклонов существует и конечен.
Что показывает значение производной в точке касания?
Производная f′(x₀) показывает мгновенную скорость изменения функции и одновременно задаёт угловой коэффициент касательной. По её знаку видно направление наклона: положительный — вверх, отрицательный — вниз, нулевой — горизонтально.
Как составить уравнение касательной к графику функции?
Найдите координаты точки касания (x₀; f(x₀)) и значение производной f′(x₀). Затем подставьте их в формулу y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
Что означает нулевая производная в точке?
Если f′(x₀) = 0, угловой коэффициент касательной равен нулю, поэтому касательная горизонтальна. Это само по себе ещё не означает, что в точке обязательно находится максимум или минимум функции.
Может ли касательная пересекать график ещё в одной точке?
Да. Касательная задаёт направление графика в точке касания, но не обязана касаться графика только в одном месте. Например, прямая y = 2x − 1 касается параболы y = x² при x = 1 и пересекает её также при x = −1.
4. Касательная к графику функции
