"Алгебра и начала математического анализа", Муравин Г.К., Муравина О.В
Производная показывает, как быстро меняется функция при изменении аргумента, а геометрически задаёт наклон касательной к её графику. Её находят как предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Дифференциал — линейная часть приращения функции: при малом изменении аргумента он помогает оценить изменение значения. Эти понятия нужны для исследования графиков, описания движения и приближённых вычислений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пусть аргумент x₀ изменили на Δx, а значение функции f(x) изменилось на Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀). Производной функции в точке x₀ называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx → 0: f′(x₀) = lim(Δx→0) Δy/Δx. Её обозначают f′(x₀) или y′(x₀). Это число показывает, как ведёт себя функция вблизи выбранной точки.
Если производная существует в каждой точке некоторой области, то значения производных образуют новую функцию — производную исходной функции. Её обозначают f′(x) или y′. Значение f′(x₀) получают, подставляя x₀ в эту функцию. Такое различие позволяет сначала описать изменение функции во всей области, а затем узнать его скорость в конкретной точке.
Дифференциал функции — величина, определяемая равенством dy = f′(x)dx, где dx = Δx. Здесь производную берут при исходном значении аргумента x, а dx задаёт его изменение. Дифференциал нужен, чтобы выделить линейную часть изменения функции и приближённо вычислить приращение при малом dx.
Функция дифференцируема в точке, если в этой точке существует конечная производная. Иными словами, отношение приращений должно приближаться к определённому числу, когда Δx стремится к нулю. Это условие важно, потому что только тогда можно говорить о конечном наклоне касательной и задавать дифференциал указанной формулой.
Когда аргумент меняется на Δx, функция получает приращение Δy. Отношение Δy/Δx показывает среднюю скорость изменения функции на выбранном промежутке: оно связывает изменение результата с изменением входной величины. Но эта скорость может зависеть от длины промежутка, поэтому для характеристики одной точки промежуток уменьшают. Предел отношения при Δx → 0 и есть производная: он описывает скорость изменения непосредственно в точке.
На графике отношение Δy/Δx задаёт наклон секущей — прямой, проходящей через две точки графика. Когда вторая точка приближается к первой, секущая стремится к касательной. Поэтому предел отношения приращений становится угловым коэффициентом касательной: f′(x₀) задаёт её наклон при абсциссе x₀. Знак производной тоже полезен: положительный наклон соответствует возрастанию графика, отрицательный — убыванию.
В задачах о движении координата зависит от времени, например s = s(t). За промежуток времени Δt отношение Δs/Δt — средняя скорость на этом промежутке. Если промежуток стягивать к выбранному моменту, предел этого отношения равен производной координаты по времени, то есть мгновенной скорости: v(t) = s′(t). Так производная переводит описание изменения величины во времени в точную характеристику для каждого момента.
Приращение функции обычно не совпадает с f′(x)Δx, но при малом Δx его можно представить как f′(x)Δx плюс остаток, который становится существенно меньше самого Δx. Именно произведение f′(x)dx называют дифференциалом и используют как линейное приближение приращения. Например, если значение аргумента изменилось немного, значение функции можно оценить как прежнее значение плюс dy. Чем меньше изменение аргумента, тем обычно точнее такая оценка.
Чтобы вычислять производные сложных выражений, используют правила для основных операций. Производную суммы находят почленно, а для произведения учитывают изменение каждого множителя по очереди: (uv)′ = u′v + uv′. Для частного действует формула (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² при v ≠ 0. После нахождения производной подставляют нужное значение x; для дифференциала дополнительно умножают производную на dx.
График функции и её производной
| Функция | Её производная |
|---|---|
| Постоянная C | 0 |
| Степенная функция xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| Сумма функций u + v | u′ + v′ |
| Произведение функций uv | u′v + uv′ |
| Частное функций u/v, при v ≠ 0 | (u′v − uv′)/v² |
Сначала представьте выражение как сумму, произведение или частное известных функций, а затем выберите соответствующее правило. Буквы u и v обозначают функции от x, а штрих — производную. Получив производную, подставьте заданное значение аргумента или умножьте её на dx, если требуется дифференциал.
Найдите производную функции f(x) = 5x⁴ − 3x + 7 и вычислите f′(2). В выражении есть степенной член, линейный член и постоянная, поэтому каждый из них можно дифференцировать отдельно. Такой порядок удобен: правила для суммы позволяют не объединять разные слагаемые в одну сложную операцию.
Ответ: f′(x) = 20x³ − 3; f′(2) = 157. Производная в точке — это значение найденной функции f′(x) при x = 2. Поэтому сначала находят формулу производной, а уже затем вычисляют её значение в нужной точке.
Найдите производную функции y = (x² + 1)(3x − 2). Это произведение двух функций, поэтому нельзя дифференцировать каждый множитель отдельно и просто перемножить результаты. Правило требует сложить два произведения, в каждом из которых производная берётся только у одного множителя.
Ответ: y′ = 9x² − 4x + 3. Проверка через раскрытие исходных скобок даёт y = 3x³ − 2x² + 3x − 2, а его производная совпадает с найденной. Это подтверждает, что правило произведения применено верно.
Для f(x) = x² найдите дифференциал при x = 3 и dx = 0,1, а затем оцените приращение функции. Сначала нужно получить производную, поскольку именно она определяет дифференциал. Затем вычислить dy и использовать его как приближение Δf для малого изменения аргумента.
Ответ: dy = 0,6; приближённо Δf ≈ 0,6, тогда как точное приращение равно 0,61. Сравнение показывает, почему дифференциал удобен для оценки, но не всегда совпадает с приращением. При ещё меньшем dx линейное приближение для этой функции становится точнее.
Иногда в отношении Δy/Δx сразу подставляют Δx = 0 и получают деление на ноль. Так делают, воспринимая предел как обычную подстановку, хотя здесь сначала нужно вычислить отношение при ненулевом Δx и только затем исследовать его предел. Проверьте себя: в записи определения должно быть lim при Δx → 0, а не дробь с нулём в знаменателе.
Другая ошибка — считать производную значением самой функции. Это происходит потому, что обе величины записывают при одном и том же x, однако f(x) задаёт высоту графика, а f′(x) — скорость изменения или наклон касательной. Чтобы проверить ответ, сравните, какую величину просили найти: значение функции или её производную.
При дифференцировании произведения иногда перемножают производные множителей: (uv)′ ошибочно заменяют на u′v′. Такое заблуждение возникает из-за переноса привычного правила производной суммы на другую операцию. Проверка: запишите правило полностью, (uv)′ = u′v + uv′, а затем убедитесь, что в результате есть оба слагаемых.
Дифференциал принимают за точное приращение при любом dx. Причина в том, что оба выражения описывают изменение функции, но дифференциал учитывает только линейную часть и обычно служит приближением. Сопоставьте dy = f′(x)dx с вычислением Δy = f(x + dx) − f(x): если они различаются, это не обязательно ошибка, ведь точное равенство в общем случае не выполняется.
Для определения производной нужны предел функции, приращение аргумента и приращение функции: без них нельзя сформулировать отношение, которое стремится к пределу. Геометрический смысл связывает производную с касательной и помогает исследовать графики, в частности находить участки возрастания и убывания. Физический смысл позволяет описывать скорость изменения процессов, а дифференциал — приближённо вычислять изменения величин. Эти идеи понадобятся при дальнейшем изучении интеграла.
Чем производная функции отличается от производной в одной точке?
Производная в точке — одно число, описывающее изменение функции именно при данном значении аргумента. Производная функции — новая функция, которая сопоставляет каждой точке значение производной исходной функции.
Почему в определении производной рассматривают предел, а не просто отношение приращений?
Отношение приращений показывает среднюю скорость изменения на выбранном промежутке. Предел при стремлении промежутка к нулю даёт мгновенную скорость изменения в точке, не зависящую от размера этого промежутка.
Как производная связана с наклоном касательной?
Значение f′(x₀) равно угловому коэффициенту касательной к графику y = f(x) в точке с абсциссой x₀. Чем больше модуль производной, тем круче наклон касательной.
Всегда ли дифференциал равен приращению функции?
Нет. Дифференциал dy = f′(x)dx задаёт линейную часть приращения, поэтому при малом dx он приближённо равен Δy. Точное равенство возможно для некоторых функций, но в общем случае приращение содержит и другие слагаемые.
Как найти производную произведения двух функций?
Используют правило (uv)′ = u′v + uv′. Нужно найти производную каждого множителя и сложить два произведения: производную первого на второй и первый на производную второго.
5. Производная и дифференциал функции
