6. Точки возрастания, убывания и экстремума функции

Определения и обозначения

Точка возрастания функции — значение аргумента, в окрестности которого при движении слева направо значения функции увеличиваются. Иными словами, если взять достаточно близкие значения x по обе стороны, справа функция оказывается выше, чем слева. Это понятие помогает описать поведение графика рядом с выбранным аргументом, не делая выводов обо всей области определения.

Точка убывания функции — значение аргумента, в окрестности которого при движении слева направо значения функции уменьшаются. В такой окрестности график направлен вниз, хотя на более удалённых участках функция может вести себя иначе. Определение нужно, чтобы находить участки, где график идёт вниз, и сравнивать их с участками возрастания.

Точка экстремума — точка, в которой функция меняет характер поведения с возрастания на убывание или с убывания на возрастание. На графике это локальная вершина или впадина, то есть сравнение значений проводится только поблизости. Поиск экстремумов позволяет выделить важные точки графика и кандидатов на наибольшее или наименьшее значение.

Точка максимума и точка минимума — разновидности точек экстремума, в которых функция соответственно принимает наибольшее или наименьшее значение в некоторой окрестности. Аргумент x₀ называют точкой максимума или минимума, а число f(x₀) — соответствующим экстремальным значением. Различие важно, например, когда в ответе нужно указать отдельно положение вершины и её высоту.

Как это устроено

Чтобы проверить возрастание на промежутке, сравнивают значения функции для любых двух аргументов x₁ и x₂, где x₁ < x₂. Если всякий раз f(x₁) < f(x₂), то большему аргументу соответствует большее значение функции; для убывания неравенство меняется на f(x₁) > f(x₂). Требование проверять все пары точек объясняет, почему одного удачного сравнения недостаточно: оно ничего не говорит о поведении на остальных участках промежутка.

Поведение в окрестности — это поведение лишь рядом с выбранным x₀, тогда как монотонность на промежутке требует порядка значений на всём этом промежутке. Функция может возрастать слева от некоторой точки, убывать справа, но при этом иметь и другие участки с иным поведением. Поэтому локальный максимум не обязательно является наибольшим значением функции на всей области определения: далеко от него график может подняться выше.

Связь производной с направлением изменения следует из её смысла: производная показывает скорость изменения функции при малом изменении аргумента. Если f'(x) положительна на промежутке, малое увеличение x ведёт к увеличению f(x), поэтому функция там возрастает; отрицательная производная означает уменьшение значений. Производная позволяет сделать вывод сразу для целого промежутка, но сначала его нужно разделить точками, где знак производной может измениться или где она не существует.

Внутри области определения экстремум обычно находят не по одному равенству f'(x₀) = 0, а по смене знака производной. Плюс слева и минус справа означают, что график сначала поднимается, а затем опускается; это максимум. Минус слева и плюс справа дают минимум, а если знак не меняется, экстремума нет, даже когда производная в точке равна нулю.

У внутренней точки есть окрестности и слева, и справа, поэтому направление изменения можно сравнить с двух сторон. На конце промежутка одна из сторон отсутствует, и правило смены знака производной напрямую неприменимо. Концы области определения рассматривают отдельно: проверяют, как значения рядом соотносятся со значением на конце, а при поиске наибольшего и наименьшего значений сравнивают его со значениями во внутренних кандидатах.

Возрастание, убывание и экстремумы функции

Сначала разбейте область определения точками, где производная равна нулю или не существует, а также разрывами функции. Затем определите знак производной на каждом получившемся промежутке и заполните таблицу. Переход между знаками в соседних столбцах показывает возможный внутренний экстремум, а концы области проверяются отдельно.

Разбор задач

1. Функция f(x) = x³ − 3x

Найдём промежутки монотонности и точки экстремума. Нужно проверить знак производной по обе стороны от её нулей, потому что именно смена знака показывает, меняется ли направление графика. Область определения — все действительные числа, поэтому разрывов учитывать не нужно.

1. Находим производную: f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Её нули: x = −1 и x = 1.
2. Разбиваем ось этими точками. При x < −1 производная положительна, при −1 < x < 1 отрицательна, при x > 1 положительна.
3. Следовательно, функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 1). Знаки меняются с + на − в −1 и с − на + в 1.
4. Считаем значения: f(−1) = 2, f(1) = −2. Ответ: x = −1 — точка максимума, значение максимума 2; x = 1 — точка минимума, значение минимума −2.

2. Функция f(x) = x⁴ − 4x²

Здесь производная имеет три нуля, поэтому важно проверить каждый из них и не объединять их в одну область. Точки −√2 и √2 разделяют участки возрастания и убывания, а ноль производной также при x = 0. Таблица знаков покажет, что в нуле направление не меняется.

1. Находим производную: f'(x) = 4x³ − 8x = 4x(x² − 2). Критические точки: x = −√2, 0, √2.
2. Проверяем знаки множителей на промежутках: f' < 0 при x < −√2; f' > 0 при −√2 < x < 0; f' < 0 при 0 < x < √2; f' > 0 при x > √2.
3. Значит, функция убывает на (−∞; −√2) и (0; √2), возрастает на (−√2; 0) и (√2; +∞). В −√2 и √2 знак меняется с минуса на плюс, а в нуле — с плюса на минус.
4. f(−√2) = −4, f(√2) = −4, f(0) = 0. Ответ: x = ±√2 — точки минимума со значением −4; x = 0 — точка максимума со значением 0.

3. Функция f(x) = (x² + 1)/(x − 1)

Перед вычислением производной определяем область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому x = 1 исключаем и исследуем две отдельные части области определения, не перенося вывод о знаке производной через разрыв. Затем отмечаем критические точки внутри этих частей.

1. Область определения: x ≠ 1. По правилу производной частного f'(x) = (2x(x − 1) − (x² + 1))/(x − 1)² = (x² − 2x − 1)/(x − 1)².
2. Нули числителя: x = 1 − √2 и x = 1 + √2. Знаменатель положителен при всех x из области определения, поэтому знак f' определяется числителем.
3. Числитель положителен вне корней и отрицателен между ними. С учётом разрыва при x = 1 функция возрастает на (−∞; 1 − √2) и (1 + √2; +∞), убывает на (1 − √2; 1) и (1; 1 + √2).
4. Знак меняется с + на − при x = 1 − √2, а с − на + при x = 1 + √2. Ответ: x = 1 − √2 — точка максимума, x = 1 + √2 — точка минимума; x = 1 не принадлежит области определения.

Типичные ошибки

Считать всякое равенство f'(x₀) = 0 экстремумом. Нуль производной — только кандидат на экстремум: функция может продолжать возрастать или убывать по обе стороны. Ошибку допускают, когда не проверяют соседние промежутки; исправление — обязательно исследовать знаки производной слева и справа.

Путать знак производной со знаком функции. Для монотонности важно, положительна или отрицательна f'(x), а значение f(x) может быть любым. Например, функция может быть отрицательной и при этом возрастать; для самопроверки отдельно запишите выражение производной и исследуйте именно его знак.

Не учитывать область определения и разрывы. Это приводит к промежутку монотонности, который включает точку, где функция не определена, или ошибочному переносу знака через разрыв. Перед исследованием выпишите область определения, отметьте исключённые точки и разделите по ним числовую ось.

Называть точкой экстремума значение функции. Точка максимума или минимума — аргумент x₀, а экстремальное значение — f(x₀); смешение возникает из-за того, что оба числа часто указывают рядом. Проверьте, отвечает ли найденное число за положение по оси x или за высоту графика по оси y, и запишите обе величины раздельно.

Связь с другими темами

Для исследования монотонности нужны определение производной, правила её вычисления, работа с интервалами и решение неравенств. Найденные промежутки и экстремумы используют при построении графиков и полном исследовании функций, а также при поиске наибольших и наименьших значений. Позже эти методы помогают решать задачи на оптимизацию: выбрать аргумент, при котором нужная величина достигает наилучшего значения.

Что запомнить

• На промежутке возрастания большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• На промежутке убывания большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
• Если f'(x) > 0, функция возрастает; если f'(x) < 0, функция убывает.
• Точку экстремума находят по смене знака производной.
• Переход производной от плюса к минусу соответствует максимуму.
• Переход производной от минуса к плюсу соответствует минимуму.
• Нулевая производная сама по себе ещё не означает наличие экстремума.