"Алгебра и начала математического анализа", Муравин Г.К., Муравина О.В
Производная суммы, произведения и частного позволяет находить скорость изменения сложной функции, не возвращаясь каждый раз к определению производной. Для суммы производные складывают, для произведения используют сумму двух произведений, а для частного — разность в числителе и квадрат знаменателя. Эти правила помогают быстро дифференцировать многочлены и дробно-рациональные функции, если составляющие их функции имеют производные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы, производная их суммы равна сумме производных: (u + v)′ = u′ + v′. Иными словами, скорость изменения общей величины складывается из скоростей изменения её частей. Это правило позволяет дифференцировать выражение по слагаемым, не раскрывая каждый раз определение производной.
Производная разности определяется формулой (u − v)′ = u′ − v′. Её можно получить, рассматривая разность как сумму u + (−v): производная функции −v равна −v′. Правило полезно, когда выражение состоит из нескольких вычитаемых частей.
Для произведения двух дифференцируемых функций действует правило (uv)′ = u′v + uv′. Сначала дифференцируют один множитель, оставляя второй без изменения, а затем наоборот и складывают результаты. Это правило нужно, когда функцию удобно видеть как произведение, а раскрытие скобок усложнило бы вычисления.
Если v(x) ≠ 0, то производная частного задаётся формулой (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². В числителе берут производную числителя, умноженную на знаменатель, и вычитают числитель, умноженный на производную знаменателя. Условие v(x) ≠ 0 обязательно: при нулевом знаменателе сама дробь не определена.
Пусть аргумент x получает небольшое приращение Δx, а функции u и v — приращения Δu и Δv. Тогда приращение суммы u + v равно Δu + Δv, потому что новая сумма складывается из новых значений обеих функций. Разделим это равенство на Δx и перейдём к пределу при Δx → 0. Если обе производные существуют, предел суммы равен сумме пределов, поэтому (u + v)′ = u′ + v′.
В произведении после изменения аргумента возникают новые значения u + Δu и v + Δv. Раскроем скобки: (u + Δu)(v + Δv) − uv = vΔu + uΔv + ΔuΔv. Первые два слагаемых дают после деления на Δx пределы vu′ и uv′. Последнее слагаемое превращается в Δu · (Δv/Δx): при дифференцируемости Δu стремится к нулю, а Δv/Δx имеет конечный предел, поэтому всё слагаемое стремится к нулю. Остаётся формула (uv)′ = u′v + uv′.
Частное можно представить как произведение u и обратной функции 1/v. Производная обратной функции равна (1/v)′ = −v′/v², если v ≠ 0. Применяя правило произведения, получаем u′/v − uv′/v²; приводим слагаемые к общему знаменателю v² и приходим к формуле (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Так становится понятно и происхождение знака минус.
Постоянный множитель выносится за знак производной: (cu)′ = cu′, поскольку приращение cu равно cΔu и постоянное c остаётся множителем при переходе к пределу. Разность можно записать как сумму u + (−v), откуда её производная равна u′ − v′. Поэтому в выражении с несколькими слагаемыми сначала отделяют постоянные коэффициенты, а затем дифференцируют каждую часть.
Если функция собрана из нескольких сумм, произведений и частных, применяйте правила по частям. Сначала определите, какая операция связывает выражения целиком: например, дробь или произведение, — и используйте соответствующее правило. Затем найдите производные отдельных частей теми же правилами, пока не дойдёте до функций, производные которых известны. В дробях на каждом шаге учитывайте, где знаменатель не равен нулю.
| Выражение | Производная | Условие |
|---|---|---|
| u(x) + v(x) | u′(x) + v′(x) | u и v дифференцируемы |
| u(x) − v(x) | u′(x) − v′(x) | u и v дифференцируемы |
| c · u(x) | c · u′(x) | c — постоянная |
| u(x) · v(x) | u′(x)v(x) + u(x)v′(x) | u и v дифференцируемы |
| u(x) / v(x) | [u′(x)v(x) − u(x)v′(x)] / v²(x) | u и v дифференцируемы, v(x) ≠ 0 |
В таблице сначала найдите строку, соответствующую главной операции в выражении, затем проверьте условие применения правила. Для произведения и частного важно подставить функции в нужном порядке: в формуле частного перестановка числителя меняет знак результата. Если выражение составное, повторно примените таблицу к его частям.
Задача 1. Найти производную функции y = 3x⁴ − 2x² + 5x. Здесь функция является суммой слагаемых, в том числе слагаемых с постоянными множителями. Поэтому сначала применим правила суммы, разности и вынесения постоянного множителя, а затем продифференцируем степени x.
Ответ: y′ = 12x³ − 4x + 5. Каждый коэффициент умножился на показатель степени, после чего степень x уменьшилась на единицу. Скобки раскрывать не требовалось, потому что слагаемые уже отделены друг от друга.
Задача 2. Найти производную функции y = (x² + 1)(2x − 3). Функция записана как произведение двух множителей, поэтому применим правило произведения. Обозначим первый множитель через u = x² + 1, а второй — через v = 2x − 3.
Ответ: y′ = 6x² − 6x + 2. При дифференцировании каждый из двух множителей по очереди становится производной, а другой сохраняется. Раскрытие скобок до применения правила не обязательно.
Задача 3. Найти производную функции y = (x² + 1)/(x − 2) и указать, где применимо правило частного. Знаменатель обращается в ноль при x = 2, поэтому исходная функция определена только при x ≠ 2. На этой области положим u = x² + 1 и v = x − 2.
Ответ: y′ = (x² − 4x − 1)/(x − 2)² при x ≠ 2. Условие для производной частного совпадает с ограничением области определения исходной функции. В точке x = 2 нельзя подставлять значение в формулу: там нет самой функции.
Первая ошибка — считать, что производная произведения равна произведению производных: (uv)′ = u′v′. Так рассуждают по аналогии с правилом суммы, но произведение меняется из-за изменения каждого из двух множителей. Нужно записать два слагаемых u′v + uv′ и проверить на примере x · x: правильная производная равна 2x.
Вторая ошибка — менять порядок слагаемых в числителе формулы частного: вместо u′v − uv′ писать uv′ − u′v. При перестановке меняется знак всей производной, поэтому порядок нельзя выбирать произвольно. Запоминайте: «производная верхнего на нижний минус верхний на производную нижнего». Для проверки можно продифференцировать 1/x и получить −1/x².
Третья ошибка — забыть квадрат знаменателя и записать в формуле частного только v. Это происходит, когда формулу запоминают неполностью или смешивают её с правилом произведения. Перед упрощением проверьте, что знаменатель записан как v². Например, производная 1/x содержит в знаменателе x².
Четвёртая ошибка — применять правило частного при v(x) = 0. В такой точке исходная дробь не определена, следовательно, её производной там тоже нет. Перед вычислениями найдите нули знаменателя и исключите их из области рассмотрения. В конце убедитесь, что ответ не включает запрещённые значения x.
Для работы с этими правилами нужны определение производной, формулы производных основных элементарных функций и навыки преобразования алгебраических выражений. Определение объясняет, почему правила верны, а известные формулы помогают дифференцировать отдельные слагаемые и множители. Алгебраические преобразования нужны, чтобы аккуратно подставить функции в правило и упростить результат.
Правила суммы, произведения и частного становятся основой для дифференцирования более сложных функций. Найденные производные применяют при исследовании поведения функции, построении графиков и решении задач на экстремумы — точки максимума и минимума. Поэтому важно не только помнить формулы, но и правильно определять область, где они применимы.
Почему производная произведения не равна произведению производных?
При изменении аргумента меняются оба множителя, поэтому приращение произведения складывается из двух основных частей. Отсюда получается формула u′v + uv′, а не u′v′. Например, для x · x производная равна 2x, а не 1.
Как запомнить порядок слагаемых в формуле производной частного?
Запомните порядок «производная верхнего на нижний минус верхний на производную нижнего»: u′v − uv′. Знаменатель при этом возводится в квадрат. Проверить порядок можно на простом примере 1/x: формула даёт −1/x².
Нужно ли сначала раскрывать скобки перед дифференцированием произведения?
Нет, можно сразу применить правило произведения к двум множителям. Это часто сокращает вычисления и снижает риск ошибки при раскрытии скобок. Раскрывать скобки стоит, только если после этого производная получается проще.
Можно ли вынести числовой множитель за знак производной?
Да, если число постоянно и не зависит от x: (c · u)′ = c · u′. Например, (3x⁴)′ = 3 · 4x³ = 12x³. Переменную величину так выносить нельзя.
Что делать, если знаменатель функции обращается в ноль?
В такой точке исходная дробь не определена, поэтому правило производной частного там применять нельзя. Сначала найдите область определения функции, исключив нули знаменателя. Производную формулы частного рассматривают только на оставшейся области.
7. Производная суммы, произведения и частного функций
