8. Сложная функция

Определения и обозначения

Сложная функция — функция вида y = f(g(x)), полученная последовательным применением двух функций. Сначала аргумент x преобразуется функцией g, а затем полученное значение обрабатывается функцией f. Такое определение позволяет видеть в длинной формуле цепочку действий, а не одно неразделимое выражение.

Внутренняя функция — функция g(x), значение которой сначала вычисляют и подставляют в другую функцию. Она задаёт промежуточный результат, который становится аргументом следующего действия. Выделять её нужно, чтобы понять, что именно подставляется во внешнюю функцию.

Внешняя функция — функция f, которую применяют к результату внутренней функции. В записи f(g(x)) именно f выполняет действие последней, хотя в выражении она записана первой. Это различие помогает не перепутать порядок вычислений.

Композиция функций — способ обозначить последовательное применение функций: (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Символ ∘ показывает, что результат g подаётся на вход f. Порядок функций важен: композиция f ∘ g означает не то же самое, что g ∘ f.

Как это устроено

Сложная функция возникает из последовательных действий: сначала находят значение g(x), затем применяют функцию f к этому значению. Например, в выражении (2x + 1)³ сначала удваивают x и прибавляют 1, а потом возводят результат в куб. Такое разложение удобно, потому что каждому действию можно сопоставить отдельную функцию.

В записи f(g(x)) аргументом внешней функции служит не x, а значение внутренней функции. Если f(u) = u³, то подстановка g(x) означает, что в куб возводится всё выражение g(x). Поэтому при вычислениях полезно писать f(g(x)) = (g(x))³: скобки показывают границы подставленного аргумента.

Область определения композиции проверяют в два этапа, потому что оба действия должны быть допустимы. Сначала x должен принадлежать области определения g, иначе нельзя вычислить внутреннее значение. Кроме того, полученное g(x) должно быть допустимым аргументом для f; например, для квадратного корня оно не может быть отрицательным.

Перестановка функций обычно меняет результат, поскольку меняется порядок действий и то, что подаётся на вход каждой функции. Например, если f(x) = x + 1 и g(x) = 2x, то f(g(x)) = 2x + 1, а g(f(x)) = 2x + 2. Совпадение возможно в отдельных случаях, но его нужно доказывать для конкретных функций.

Чтобы распознать сложную функцию, найдите последнее действие в формуле: оно обычно задаёт внешнюю функцию. Затем определите выражение, к которому это действие применяется, — оно становится внутренней функцией. В y = sin(3x) последним выполняется синус, поэтому g(x) = 3x, а f(u) = sin u; переменная u просто обозначает аргумент внешней функции.

Как представить функцию как композицию

В таблице формулы разбиты на внутреннее преобразование и действие, которое выполняется над его результатом. Во внешней функции аргумент обозначен буквой u, чтобы отличить его от исходного x. Проверка простая: подставьте g(x) вместо u в f(u) и убедитесь, что получится исходная функция.

Разбор задач

Задача 1. Для y = (5 − 2x)⁴ указать внутреннюю и внешнюю функции и записать функцию как композицию.

1. Находим действие, которое выполнено последним: всё выражение в скобках возведено в четвёртую степень.
2. Обозначаем выражение в скобках как g(x) = 5 − 2x, а действие возведения в четвёртую степень — как f(u) = u⁴.
3. Подставляем g(x) в f: f(g(x)) = (5 − 2x)⁴. Значит, исходная функция действительно представлена как композиция.

Ответ: g(x) = 5 − 2x, f(u) = u⁴; y = f(g(x)).

Задача 2. Найти область определения функции y = √(3x − 6), представив её как композицию.

1. Выделяем внутреннюю функцию g(x) = 3x − 6 и внешнюю f(u) = √u. Линейная функция g определена при всех x, поэтому ограничений на этом этапе нет.
2. Для внешней функции подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, требуется g(x) ≥ 0, то есть 3x − 6 ≥ 0.
3. Решаем неравенство: 3x ≥ 6, откуда x ≥ 2. Объединяем условие внешней функции с областью определения g.

Ответ: область определения — [2; +∞).

Задача 3. Для f(x) = ln x и g(x) = x² − 1 найти формулы и области определения f(g(x)) и g(f(x)).

1. Для f(g(x)) подставляем x² − 1 вместо аргумента логарифма: f(g(x)) = ln(x² − 1). Логарифм определён, когда аргумент строго положителен, поэтому x² − 1 > 0.
2. Решаем неравенство: x² > 1, значит x < −1 или x > 1. Получаем область определения f(g(x)): (−∞; −1) ∪ (1; +∞).
3. Для g(f(x)) подставляем ln x в формулу g: g(f(x)) = (ln x)² − 1. Здесь нужно, чтобы была определена внутренняя функция ln x, то есть x > 0; внешняя функция g определена при любом аргументе.

Ответ: f(g(x)) = ln(x² − 1), область определения (−∞; −1) ∪ (1; +∞); g(f(x)) = (ln x)² − 1, область определения (0; +∞).

Типичные ошибки

Меняют местами внутреннюю и внешнюю функции, потому что ориентируются на порядок букв в записи, а не на порядок действий. В f(g(x)) сначала вычисляют g(x), и лишь затем применяют f. Проверка: проговорите вычисление вслух или подставьте конкретное значение x по шагам.

Считают, что f(g(x)) всегда равно g(f(x)), поскольку воспринимают композицию как обычное сложение. Но порядок действий меняет результат, как видно на примере функций x + 1 и 2x. Чтобы проверить равенство, составьте обе формулы отдельно и сравните их.

Область определения иногда находят только по внутренней функции: проверяют допустимость x, но забывают про аргумент внешней. Ошибка возникает потому, что промежуточный результат кажется автоматически допустимым. Проверьте отдельно оба условия: x допустим для g, а g(x) — для f.

При подстановке выражения g(x) не заключают его в скобки, из-за чего неверно раскрывают степень или выполняют действия. Например, степень должна относиться ко всему подставленному выражению, а не только к последнему слагаемому. Сначала записывайте f(g(x)) со скобками и только после этого упрощайте.

Связь с другими темами

Для работы со сложными функциями нужны навыки подстановки выражений и нахождения областей определения и значений функций. Эти умения позволяют определить, можно ли выполнить каждый шаг композиции и какие ограничения возникают. Если они вызывают затруднение, полезно отдельно повторить условия существования корня, логарифма и других изученных функций.

Композиции встречаются при преобразовании формул: сложное выражение можно представить как последовательность более простых действий. Позже тот же взгляд пригодится при изучении производной сложной функции, где способ построения функции помогает понять порядок вычислений. Поэтому выделение внутренней и внешней частей — не только удобная запись, но и рабочий инструмент.

Что запомнить

• В f(g(x)) функция g — внутренняя, а f — внешняя.
• Сначала вычисляют внутреннюю функцию, затем внешнюю.
• Композицию обозначают (f ∘ g)(x) = f(g(x)).
• Порядок функций в композиции обычно нельзя менять.
• Для области определения нужны допустимость x для g и допустимость g(x) для f.
• Одну и ту же функцию иногда можно представить как композицию разными способами.