§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа

Определения и обозначения

Корень n-й степени из числа a — это число b, для которого bⁿ = a; здесь n — натуральное число. Корень можно извлечь в действительных числах при любом a, если n нечётное, и только при a ≥ 0, если n чётное. Это определение превращает поиск корня в поиск числа, которое при возведении в заданную степень даст исходное значение.

Арифметический корень n-й степени из a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a; его рассматривают при чётном n и a ≥ 0. Например, арифметический корень четвёртой степени из 16 равен 2, а не −2. Условие неотрицательности позволяет однозначно выбрать значение, обозначаемое знаком корня.

Знак √ называют радикалом, или знаком корня. Под ним записывают подкоренное число, а показатель степени ставят слева сверху: ⁿ√a. Если показатель равен двум, его обычно опускают, поэтому √a читают «квадратный корень из a». Обозначение помогает сразу увидеть, какую степень нужно проверить.

Подкоренное выражение — число или выражение, записанное под знаком радикала и из которого извлекают корень. Например, в записи √(x + 3) подкоренное выражение — x + 3. Для корня чётной степени оно должно быть неотрицательным, поэтому при работе с выражениями проверяют, при каких значениях переменной это условие выполняется.

Как это устроено

Возведение в степень задаёт правило: число x сопоставляется с результатом xⁿ. Чтобы обратить это действие, нужно по результату найти подходящее исходное число — так и вводят корень n-й степени. Например, поскольку 3⁴ = 81, число 3 является корнем четвёртой степени из 81. Проверка возведением в степень показывает, что определение выполнено.

При нечётном n график зависимости y = xⁿ проходит через все значения y и всё время возрастает. Поэтому каждому действительному a соответствует ровно одно число b, для которого bⁿ = a. Отрицательные числа тоже подходят: например, (−2)³ = −8, так что ∛(−8) = −2. Знак корня совпадает со знаком подкоренного числа.

При чётном n результат xⁿ не может быть отрицательным: множители можно объединить в пары одинаковых чисел, и каждая пара даёт неотрицательный квадрат. Значит, отрицательное a не может быть степенью действительного числа. Для a ≥ 0 определяют арифметический корень — единственное неотрицательное число b, удовлетворяющее bⁿ = a. Отрицательное число при этом не запрещено возводить в чётную степень, но оно даст тот же результат, что и противоположное ему положительное.

Арифметический корень и решения уравнения xⁿ = a — не одно и то же. Если n чётное и a > 0, уравнение имеет решения x = ⁿ√a и x = −ⁿ√a, потому что степени противоположных чисел совпадают. Однако символ ⁿ√a обозначает только неотрицательное значение, то есть одно из этих решений. При a = 0 два знака не дают разных ответов: единственное решение — 0.

В записи √a показатель корня не указан, потому что по соглашению это корень второй степени. Запись ⁿ√a читают «корень n-й степени из a», а число или выражение под знаком радикала называют подкоренным. У чётного корня берут неотрицательное значение, чтобы обозначение задавало единственный ответ, а не оба решения уравнения. Если под корнем стоит выражение с переменной, условие его неотрицательности помогает определить допустимые значения переменной.

Корень n-й степени из действительного числа

Сначала найдите в столбце нужную чётность n, а затем проверьте знак a. Для чётного показателя отрицательное подкоренное число исключает действительный корень, а для нечётного ограничений по знаку нет. В строке об арифметическом корне при нечётном n имеется в виду, что это специальное название относится к неотрицательному корню чётной степени.

Разбор задач

Задача 1. Найти ∛(−125). Показатель корня нечётный, поэтому корень из отрицательного числа существует. Нужно подобрать число, третья степень которого равна −125. Проверим подходящие целые числа, учитывая знак результата при возведении в нечётную степень.

1. Сравним подкоренное число с известными кубами: 5³ = 125.
2. Так как требуется получить −125, берём число −5: (−5)³ = −125.
3. Следовательно, число под корнем и найденный куб совпадают.

Ответ: ∛(−125) = −5. Корень отрицателен, потому что подкоренное число отрицательно, а показатель нечётный.

Задача 2. Найти ⁴√81. Показатель чётный, а 81 положительно, значит, арифметический корень существует. Ищем неотрицательное число, четвёртая степень которого равна 81. Здесь не нужно записывать оба числа, степени которых равны 81: знак радикала задаёт арифметический корень.

1. Представим 81 как квадрат числа 9: 81 = 9².
2. Число 9 само равно 3², поэтому 3⁴ = (3²)² = 9² = 81.
3. Число 3 неотрицательно и удовлетворяет определению арифметического корня.

Ответ: ⁴√81 = 3. Число −3 тоже в четвёртой степени даёт 81, но оно является вторым решением уравнения x⁴ = 81, а не арифметическим корнем.

Задача 3. Решить уравнение x⁶ = 64. Показатель шесть чётный, а правая часть положительна, поэтому уравнение имеет два противоположных решения. Сначала найдём арифметический корень шестой степени из 64, затем учтём оба знака. Так мы не смешаем вычисление радикала с решением уравнения.

1. Заметим, что 2⁶ = 64, значит, арифметический корень шестой степени из 64 равен 2.
2. Поскольку (−2)⁶ = 64 также, отрицательное число −2 тоже удовлетворяет уравнению.
3. Других решений нет: при чётной степени одинаковый положительный результат дают только два противоположных числа.

Ответ: x = −2 или x = 2. Проверка обеих подстановок даёт равенство 64 = 64.

Типичные ошибки

• Считать, что корень чётной степени из отрицательного числа существует в действительных числах. Ошибка возникает, если забыть, что чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Проверьте знак подкоренного числа и вспомните, может ли нужная степень дать отрицательный результат.
• Записывать арифметический корень чётной степени как два числа ±. Два значения относятся к решению уравнения xⁿ = a, а знак радикала обозначает только неотрицательный корень. Для самопроверки уточните, требуется найти значение радикала или решить уравнение.
• Полагать, что корень нечётной степени из отрицательного числа положителен. Это происходит, когда правила для чётного корня переносят на нечётный. Возведите предполагаемый ответ в нечётную степень: результат должен иметь знак подкоренного числа.
• Путать показатель корня с показателем степени подкоренного числа. Из-за этого проверяют ответ не той степенью и получают неверный вывод. Сверьте показатель у радикала и возведите найденное число именно в эту степень.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужны свойства степеней с натуральным показателем и умение возводить положительные и отрицательные числа в степень. Эти знания позволяют проверять корень и понимать, почему знак результата зависит от чётности показателя. Далее корни встречаются при изучении степенных функций, преобразовании выражений и решении уравнений. В этих темах условия существования корня помогают отсеивать недопустимые значения переменных.

Что запомнить

• Корень n-й степени из a — число, n-я степень которого равна a.
• При нечётном n корень существует для любого действительного a.
• При чётном n действительный корень существует только при a ≥ 0.
• Арифметический корень чётной степени неотрицателен.
• Уравнение xⁿ = a и нахождение арифметического корня — не одно и то же.
• Проверить найденный корень можно возведением его в соответствующую степень.